TitelProduktregel (Ableiten)
Autoranonym
veröffentlicht21.04.2021
FachMathematik

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Die Produktregel

Die Ableitung eines Produktes von Funktionen

Ziel: Es soll eine Regel für die Ableitung eines Produktes f(x) = u(x) . v(x) gefunden werden,

falls die Ableitungen von u und v bekannt sind.

Bei einer Summe f = u + v von Funktionen gilt f' = u' + v' .

Gibt es für ein Produkt f = u*v eine entsprechende einfache Ableitungsregel?

u	v	f=u*v	richtige Ableitung f'	u'	v'	Kombination aus u, v, u' und v'
x	3x	3x ²	6x	1	3
x	x²	x³
x²	x³
x²	x⁵

Vermutung:

Die Ableitung von f(x) = u(x) v(x) [[f'(x)= u' v + u * v']].

Kurzform eines Beweises zur Ableitung eines Produktes (g . h) von Funktionen:

Binomische Formel: (u + v)² = u² + 2 u^*v + v²

Beide Seiten ableiten:
(1)
2 (u+v) (u+v) ́ = 2 u u ́ + 2 (u v) ́+ 2v v ́ (mit Kettenregel)

(2)
(u+v) (u ́+v ́)=u u ́ + (u v) ́+ v v ́

(3)
u u ́ + u v ́ + v u ́ + v v ́ = u u ́+(u v) ́ + v v ́

(4)
u v ́+v u ́= (u*v) ́

Erläutern Sie

warum in Zeile (1) auf der linken Seite der Term (u + v)' und auf der rechten Seite die Terme u' und v' stehen.
warum in Zeile (1) nur die mit Pfeilen gekennzeichneten Funktionen abgeleitet werden, aber das Produkt (u v) nur mit Ableitungszeichen versehen wird.
welche Umformung von Zeile (1) nach Zeile (2) durchgeführt wurde.
nach welcher Rechenregel von Zeile (2) nach Zeile (3) die linke Seite umgeformt wurde.
das Ergebnis in Zeile (4) in Worten.