• Produktregel (Ableiten)
  • anonym
  • 21.04.2021
  • Mathematik
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anonym

Die Produktregel

Die Ableitung eines Produktes von Funktionen

Ziel: Es soll eine Regel für die Ableitung eines Produktes f(x) = u(x) . v(x) gefunden werden,

falls die Ableitungen von u und v bekannt sind.

1
Bei einer Summe f = u + v von Funktionen gilt f' = u' + v' .




Gibt es für ein Produkt f = u*v eine entsprechende einfache Ableitungsregel?

u

v

f=u*v

richtige Ableitung f'


u'

v'

Kombination aus u, v, u' und v'

x

3x

3x 2

6x

1

3

x

x2

x3

x2

x3

x2

x5

2
Vermutung:

Die Ableitung von f(x) = u(x) v(x) [[f'(x)= u' v + u * v']].

anonym
3
Kurzform eines Beweises zur Ableitung eines Produktes (g . h) von Funktionen:

Binomische Formel: (u + v)2 = u2 + 2 u*v + v2

Beide Seiten ableiten:
(1)
2 (u+v) (u+v) ́ = 2 u u ́ + 2 (u v) ́+ 2v v ́ (mit Kettenregel)

(2)
(u+v) (u ́+v ́)=u u ́ + (u v) ́+ v v ́

(3)
u u ́ + u v ́ + v u ́ + v v ́ = u u ́+(u v) ́ + v v ́

(4)
u v ́+v u ́= (u*v) ́
4
Erläutern Sie
  • warum in Zeile (1) auf der linken Seite der Term (u + v)' und auf der rechten Seite die Terme u' und v' stehen.

  • warum in Zeile (1) nur die mit Pfeilen gekennzeichneten Funktionen abgeleitet werden, aber das Produkt (u v) nur mit Ableitungszeichen versehen wird.

  • welche Umformung von Zeile (1) nach Zeile (2) durchgeführt wurde.

  • nach welcher Rechenregel von Zeile (2) nach Zeile (3) die linke Seite umgeformt wurde.

  • das Ergebnis in Zeile (4) in Worten.