• Quadratische Funktionen Überblick
  • anonym
  • 11.10.2021
  • Mathematik
  • 11
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
Definition

Eine Funktion der Form heißt quadratischte Funktion, wobei gilt.
Der Graph heißt Parabel.

Normalparabel

f(x)=x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) = x^2
  • einfachster Fall der quadratischen Funktion
  • Definitionsbereich:
  • Wertebereich:
  • achsensymmetrisch zur
  • tiefster Punkt heißt
  • alle Punkte liegen auf oder über der x-Achse

x

-2

-1

-0,5

0

0,5

1

2

y=f(x)

Spezialfälle und ihre Auswirkungen auf die Normalparabel

f(x)=x2+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2+c

Verschiebung der Normalparabel um c Einheiten auf der y-Achse
z.B. c = -4 : Verschiebung des Scheitelpunktes auf der y-Achse nach -4

f(x)=x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-x^2

Parabel nach unten geöffnet

f(x)=ax2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=ax^2

a ist Streckungs- bzw. Stauchungsparameter
a > 1 : Streckung der Normalparabel
0 < a < 1 : Stauchung der Normalparabel

Scheitelpunktform

f(x)=a(x+d)2+e\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a(x+d)^2+e
S(de)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} S(-d|e)

Liegt die Quadratische Funktion in der Scheitelpunktform vor, kann der Scheitelpunkt einfach abgelesen werden.

Beispiele:

f(x)=(x1)2+3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x-1)^2+3
f(x)=(x+2)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+2)^2
f(x)=(x+5)24\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+5)^2-4
f(x)=(x3)21\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x-3)^2-1

Beschreibe das Aussehen der Parabeln im Vergleich zur Normalparabel und gib den Scheitelpunkt an.

f(x)=x24\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2-4
f(x)=0,25x2+3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-0{,}25x^2+3
f(x)=0,5(x2)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-0{,}5(x-2)^2
f(x)=2(x+3)23\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2(x+3)^2-3
f(x)=(x+6)21\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+6)^2-1

Wechsel zwischen den Darstellungsformen

Beispiel:

Scheitelpunktform:

Allgemeine Form:

Normalform (a=1):

f(x)=a(x+d)2+e\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a(x+d)^2+e
f(x)=2(x5)2+20\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-2(x-5)^2+20
f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=ax^2+bx+c
f(x)=x2+px+q\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2+px+q

Die unterschiedlichen Darstellungsformen sind durch einfache Termumformungen in einander überführbar. Je nach Situation kann eine Darstellungsform besonders hilfreich sein.

Zeichnen der Funktion:

Nullstellen berechnen:

f(x)=2x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^2

Nullstellen berechnen - Schnittpunkte mit der x-Achse

f(x)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=0

Durch Wurzel-Ziehen

nur möglich, falls die Variable allein als Quadrat vorkommt

f(x)=2x28\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^2-8

Durch "Ausklammern

Satz vom Nullprodukt

"Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist."

f(x)=2x23x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^2-3x

Erst wenn die Normalform vorliegt, kann ich die pq-Formel verwenden!

Durch pq-Formel

f(x)=2x24x6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^2-4x-6