TitelQuadratische Funktionen Überblick
Autoranonym
veröffentlicht11.10.2021
FachMathematik
Klassenstufe11

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Definition

Eine Funktion der Form heißt quadratischte Funktion, wobei gilt.

Der Graph heißt Parabel.

Normalparabel

f (x) = x^{2}

einfachster Fall der quadratischen Funktion
Definitionsbereich:
Wertebereich:
achsensymmetrisch zur
tiefster Punkt heißt
alle Punkte liegen auf oder über der x-Achse

-2

-1

-0,5

0,5

y=f(x)

Spezialfälle und ihre Auswirkungen auf die Normalparabel

f (x) = x^{2} + c

Verschiebung der Normalparabel um c Einheiten auf der y-Achse

z.B. c = -4 : Verschiebung des Scheitelpunktes auf der y-Achse nach -4

f (x) = - x^{2}

Parabel nach unten geöffnet

f (x) = a x^{2}

a ist Streckungs- bzw. Stauchungsparameter

a > 1 : Streckung der Normalparabel

0 < a < 1 : Stauchung der Normalparabel

Scheitelpunktform

f (x) = a (x + d)^{2} + e

S (- d ∣ e)

Liegt die Quadratische Funktion in der Scheitelpunktform vor, kann der Scheitelpunkt einfach abgelesen werden.

Beispiele:

f (x) = (x - 1)^{2} + 3

f (x) = (x + 2)^{2}

f (x) = (x + 5)^{2} - 4

f (x) = (x - 3)^{2} - 1

Beschreibe das Aussehen der Parabeln im Vergleich zur Normalparabel und gib den Scheitelpunkt an.

f (x) = 2 x^{2}

f (x) = x^{2} - 4

f (x) = - 0, 25 x^{2} + 3

f (x) = - 0, 5 (x - 2)^{2}

f (x) = 2 (x + 3)^{2} - 3

f (x) = (x + 6)^{2} - 1

Wechsel zwischen den Darstellungsformen

Beispiel:

Scheitelpunktform:

Allgemeine Form:

Normalform (a=1):

f (x) = a (x + d)^{2} + e

f (x) = - 2 (x - 5)^{2} + 20

f (x) = a x^{2} + b x + c

f (x) = x^{2} + p x + q

Die unterschiedlichen Darstellungsformen sind durch einfache Termumformungen in einander überführbar. Je nach Situation kann eine Darstellungsform besonders hilfreich sein.

Zeichnen der Funktion:

Nullstellen berechnen:

Nullstellen berechnen - Schnittpunkte mit der x-Achse

f (x) = 0

Durch Wurzel-Ziehen

nur möglich, falls die Variable allein als Quadrat vorkommt

f (x) = 2 x^{2} - 8

Durch "Ausklammern

Satz vom Nullprodukt

"Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist."

f (x) = 2 x^{2} - 3 x

Erst wenn die Normalform vorliegt, kann ich die pq-Formel verwenden!

Durch pq-Formel

f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6