• Quadratische Gleichungen
  • anonym
  • 05.03.2021
  • Mathematik
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Es gibt zahlreiche Arten von quadratischen Gleichungen.

Sobald eine Gleichung 0=... aufzeigt, berechnet man Nullstellen.

Für Nullstellen gilt: y=0 oder f(x)=0.

In der Zeichnung sind die Nullstellen markiert.

Die Gleichung dafür lautet: 0=x²-8x-12

1
Löse die Gleichung.
  • x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²=0
  • x2=49\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²=49
  • x2=36\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²=36
  • x2=49\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²=-49
  • x24=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²-4=0
  • 3x227=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3x²-27=0
2
Löse die Gleichung.
  • x2=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²=-4
  • x2=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -x²=4
  • 0,08x2=42\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -0{,}08x²=42
3
Bestimme die Nullstellen der Funktionen.
  • y=(x4)2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=(x-4)²
  • y=(x4)225\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=(x-4)²-25
  • y=(x4)2+25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=(x-4)²+25
4
Löse die Gleichung.
  • 0=x2+2x+1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0=x²+2x+1
Normalform

Eine Gleichung der Form

0=x²+px+q    nennt man Normalform.

Zum Lösen dieser Gleichungen gibt es die p-q-Formel.

5
Bestimme p und q der Gleichung und löse sie mit der p-q-Formel.
  • 0=x2+6x8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0=x²+6x-8
  • 0=x2+8x9\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0=x²+8x-9
  • 0=x2+10x+21\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0=x²+10x+21
  • 0=x2+20x+75\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0=x²+20x+75
Achtung

Die p-q-Formel kann man nur benutzen, wenn die Gleichung in Normalform (0=...) vorliegt. Außerdem  darf vor dem x² nichts stehen.

Andere Gleichungen müssen vorher dahingehend umgeformt werden.

6
Forme die Gleichung zuerst in die Normalform um und löse sie dann.
  • x2+3x=28\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²+3x=28
  • x2+5x=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x²+5x=6
  • 2x2+7x=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2x²+7x=4
  • 3x2+17x=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3x²+17x=6
7
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
  • f(x)=x2+2x+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x²+2x+2
  • f(x)=12x2+24x+12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=12x²+24x+12
  • )f(x)=3x29x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ) f(x)= –3 x²– 9x–3
  • y=0,02x2+0,8x+1,8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=–0{,}02 x² + 0{,}8 x +1{,}8
  • y=1,25x22\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y = 1{,}25 x² – 2
  • y=0,006x2+0,9\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=–0{,}006 x² + 0{,}9

Scheitelpunkte bestimmen

Da quadratische Funktionen achsensymmetrisch sind, befindet sich der Scheitelpunkt in der Mitte der Nullstellen.

Rechenweg
  1. Bestimme die x-Koordinate des Scheitelpunktes.
  2. Bestimme die y-Koordniate der Scheitelpunktes, indem du die herausgefundene x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt.
8
Bestimme die Scheitelpunkte der Funktionen aus Aufgabe 5.