• Quadratische Gleichungen
  • anonym
  • 05.03.2021
  • Mathematik
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  • Es gibt zahlreiche Arten von quadratischen Gleichungen.

    Sobald eine Gleichung 0=... aufzeigt, berechnet man Nullstellen.

    Für Nullstellen gilt: y=0 oder f(x)=0.

    In der Zeichnung sind die Nullstellen markiert.

    Die Gleichung dafür lautet: 0=x²-8x-12

    1
    Löse die Gleichung.
    • x²=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²=0
    • x²=49\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²=49
    • x²=36\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²=36
    • x²=49\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²=-49
    • x²4=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²-4=0
    • 3x²27=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 3x²-27=0
    2
    Löse die Gleichung.
    • x²=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²=-4
    • x²=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} -x²=4
    • 0,08x²=42\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} -0{,}08x²=42
    3
    Bestimme die Nullstellen der Funktionen.
    • y=(x4)²\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=(x-4)²
    • y=(x4)²25\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=(x-4)²-25
    • y=(x4)²+25\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=(x-4)²+25
    4
    Löse die Gleichung.
    • 0=x²+2x+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0=x²+2x+1
    Normalform

    Eine Gleichung der Form

    0=x²+px+q    nennt man Normalform.

    Zum Lösen dieser Gleichungen gibt es die p-q-Formel.

    5
    Bestimme p und q der Gleichung und löse sie mit der p-q-Formel.
    • 0=x²+6x8\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0=x²+6x-8
    • 0=x²+8x9\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0=x²+8x-9
    • 0=x²+10x+21\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0=x²+10x+21
    • 0=x²+20x+75\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0=x²+20x+75
  • Achtung

    Die p-q-Formel kann man nur benutzen, wenn die Gleichung in Normalform (0=...) vorliegt. Außerdem  darf vor dem x² nichts stehen.

    Andere Gleichungen müssen vorher dahingehend umgeformt werden.

    6
    Forme die Gleichung zuerst in die Normalform um und löse sie dann.
    • x²+3x=28\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²+3x=28
    • x²+5x=6\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x²+5x=6
    • 2x²+7x=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 2x²+7x=4
    • 3x²+17x=6\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 3x²+17x=6
    7
    Bestimme die Nullstellen der Funktion.
    • f(x)=x²+2x+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x²+2x+2
    • f(x)=12x²+24x+12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=12x²+24x+12
    • )f(x)=3x²–9x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} ) f(x)= –3 x²– 9x–3
    • y=0,02x²+0,8x+1,8\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=–0{,}02 x² + 0{,}8 x +1{,}8
    • y=1,25x²–2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y = 1{,}25 x² – 2
    • y=0,006x²+0,9\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=–0{,}006 x² + 0{,}9

    Scheitelpunkte bestimmen

    Da quadratische Funktionen achsensymmetrisch sind, befindet sich der Scheitelpunkt in der Mitte der Nullstellen.

    Rechenweg
    1. Bestimme die x-Koordinate des Scheitelpunktes.
    2. Bestimme die y-Koordniate der Scheitelpunktes, indem du die herausgefundene x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt.
    8
    Bestimme die Scheitelpunkte der Funktionen aus Aufgabe 5.