• Reelle Zahlen - Näherungswerte für Wurzeln
  • anonym
  • 17.03.2023
  • Mathematik
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Qua­drat­wur­zeln

Nä­he­rungs­wer­te ir­ra­tio­na­ler Zah­len

Wie wir ja be­reits wis­sen, gibt es Zah­len, wel­che nicht als Bruch dar­ge­stellt wer­den kön­nen. Diese Zah­len nen­nen wir ir­ra­tio­na­le Zah­len (sh. Hef­ter Zah­len­be­rei­che).

Ein uns be­reits be­kann­tes Bei­spiel ist die Zahl 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sqrt{2}, wel­che wir nicht als Bruch dar­stel­len kön­nen. Je­doch kön­nen wir Nä­he­rungs­wer­te an­ge­ben.

Der Ta­schen­rech­ner kann uns dabei einen sol­chen Nä­he­rungs­wert an­ge­ben, näm­lich:

2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sqrt{2} \approx





Es gibt auch eine Mög­lich­keit, sol­che Nä­he­rungs­wer­te selbst zu be­stim­men. Wir neh­men fol­gen­des Bei­spiel:



82,828\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sqrt{8} \approx 2{,}828



Dafür stel­len wir ei­ni­ge Über­le­gen an:



2<8<3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2<\sqrt{8}<3 denn 22=4<8<9=32\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2^2=4<8<9=3^2



Die­sen Spiel kön­nen wir wei­ter trei­ben, indem wir eine Nach­kom­ma­stel­le ein­fü­gen:



2,8<8<2,9\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2{,}8 < \sqrt{8} < 2{,}9 denn 2,82=7,84<8<8,41=2,92\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2{,}8^2=7{,}84<8<8{,}41=2{,}9^2



In die­ser Art und Weise kön­nen wir un­se­re Lö­sung immer wei­ter an­nä­hern, indem wir eine wei­te­re Nach­kom­ma­stel­le zu un­se­rer Nä­he­rungs­lö­sung hin­zu­fü­gen. Nun bist du dran! Fülle die Lü­cken für die nächs­ten zwei Schrit­te aus! Du darfst den Ta­schen­rech­ner nut­zen.

2,82<8<2,83\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2{,}82<\sqrt{8}<2{,}83 denn 2,822=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2{,}82^2= <8<\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} <8< =2,832\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} =2{,}83^2



2,828<8<\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2{,}828<\sqrt{8}<  denn 2,8282=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2{,}828^2= <8<\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} <8< =\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} =



Damit: 8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sqrt{8}\approx

Wir sehen, dass wir uns an Nä­he­rungs­lö­sun­gen durch ge­schick­te In­ter­vall­schach­te­lun­gen (also Wahl zwei­er Zah­len, die eng bei­ein­an­der lie­gen, die Wur­zeln un­se­re ge­such­ten Zahl aber noch immer da­zwi­schen) her­aus­fin­den kön­nen! Für un­se­re Ein­stiegs­auf­ga­be durf­ten wir den Ta­schen­rech­ner ver­wen­den. Dies ist al­ler­dings eine Me­tho­de, um Nä­he­rungs­lö­sun­gen von ir­ra­tio­na­len Zah­len zu fin­den, wenn kein Ta­schen­rech­ner zur Ver­fü­gung steht!

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