Test Extremalprobleme

Stel­len Sie für die fol­gen­den Ex­tre­mal­pro­ble­me je­weils die Haupt­be­din­gung
und die Ne­ben­be­din­gung auf.

a) Der Eck­punkt P(x|y) eines ach­sen­par­al­le­len Recht­ecks liegt auf dem Funk­ti­ons­gra­phen der Funk­ti­on f(x) = x² - 2x + 1.
Be­stim­men Sie die ma­xi­ma­le Flä­che des zwi­schen dem Funk­ti­ons­gra­phen und den Ko­or­di­na­ten­ach­sen ein­ge­sperr­ten Recht­ecks.

b) Ein Ge­trän­ke­her­stel­ler will eine zy­lin­der­för­mi­ge Dose, in die 500 ml rein­pas­sen sol­len, so op­ti­mie­ren, dass so wenig Ma­te­ri­al wie mög­lich ver­wen­det wird.
Be­stim­men Sie die Höhe h und den Durch­mes­ser r der Dose.

(Tipp: 1 ml = 1 cm³)

Be­rech­nen Sie für ge­ge­be­nen Ex­tre­mal­pro­ble­me je­weils die Va­ri­a­blen x und y sowie den ge­such­ten ma­xi­ma­len Wert.

a)
Haupt­be­din­gung: $Z=x+y$ -> max
Ne­ben­be­din­gung: $x\cdot y=200$

b)
Haupt­be­din­gung: A = $(x-20)\cdot (y-20)$ -> max
Ne­ben­be­din­gung: x + 2y = 100