Test Steigungen und Ableitungen

Ge­ge­ben ist die Funk­ti­on $f(x)=4(x-1{)}^2-1$.

a) Be­rech­nen Sie die mitt­le­re Stei­gung der Funk­ti­on in den In­ter­val­len
[-1 ; 2] und [1 ; 2]. (4P)

b) Er­klä­ren Sie, warum die Stei­gung in einem In­ter­vall po­si­tiv und im an­de­ren
ne­ga­tiv ist, ob­wohl das eine In­ter­vall ein Teil des an­de­ren ist. (1P)

Be­rech­nen Sie die Ab­lei­tun­gen der fol­gen­den Funk­ti­o­nen mit­hil­fe der
Ab­lei­tungs­re­geln.

a) $f(x)=5x^4-x^2+1$
b) $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-x$
c) $f(x)=x^2-2\sqrt{x}$
d) $f(x)=\frac{3}{x}+8$

Ge­ge­ben ist die Funk­ti­on $f(x)=2x^3-6x^2+6x-7$.

a) Be­rech­nen Sie die erste Ab­lei­tung der Funk­ti­on. (1P)

b) Be­rech­nen Sie die Stei­gung der Funk­ti­on an der Stel­le x₀ = 4. (2P)

c) Be­rech­nen Sie, an wel­cher Stel­le die Stei­gung der Funk­ti­on Null ist. (2P)

Die Funk­ti­o­nen $f(x)=3x^2-x$ und $g(x)=2x^3-\frac{1}{2}{x}^2$ haben an der
Stel­le x₀ = 1 den sel­ben An­stieg $f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)=5$.
Tref­fen Sie eine Aus­sa­ge zur Lage der Tan­gen­ten der Funk­ti­o­nen in die­ser Stel­le.