• Trigonometrische Funktionen - Einführung
  • Simon Brückner
  • 11.09.2020
  • Mathematik
  • 11
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Einstieg

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Ein Riesenrad mit 100m Radius benötigt für eine Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn genau 2 min.
  • Wo befindet sich die Gondel, die zu Beginn der Beobachtung am
    äußersten rechten Punkt des abgebildeten Rades war, nach 10,
    15, 20, 30 und 40 Sekunden. Zeichnen Sie jeweils ein.
  • Die Funktion f gibt die Höhe der Gondel relativ zum Radmittel-
    punkt zu jedem Zeitpunkt (x in min) an (z. B. gilt f(0)=0,
    f(0,5)=100). Skizzieren Sie den Graphen von f für die ersten drei
    Minuten, indem Sie Werte durch Abmessen bestimmen.
  • Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f. Setzen Sie den
    Graphen in beide Richtungen fort.
  • Zusatz: Wie lässt sich die Höhe der Gondel nach 40 s berechnen?
    (Tipp: Längen im Dreieck)
Trigonometrie


sin(α)=ac\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} sin(\alpha)=\frac{a}{c}
cos(α)=bc\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} cos(\alpha)=\frac{b}{c}

Mit den Erkenntnissen aus dem Einstieg wird es Ihnen leicht fallen, die hier angegebenen Videos zu verstehen und die Lückentexte zu ergänzen:

Trigonometrie anschaulich erklärt I
musstewissen Mathe

https://youtu.be/ZC7zplrmSHw

Winkelmaß und Bogenmaß I musstewissen Mathe
https://youtu.be/G-5AJfNNfMk

Der Einheitskreis

Merke: Der Kreis mit Mittelpunkt M(0|0) und Radius heißt Einheitskreis.
Trägt man im Punkt M einen Strahl im Winkel α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha zur x-Achse ab, schneidet dieser den Einheits-kreis im Punkt P( | ).

xyoriginOb

Bogenmaß

Merke: Die , die zum Winkel α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha auf dem Einheitskreis gehört, heißt Bogenmaß des Winkels α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha.
Es gilt:


Allgemein:
\frac\cloze{\alpha}\cloze{360°}=\frac\cloze{b}\cloze{2\pi}

α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha

360°

180°

90°

30°

270°\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{270°}

720°\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{720°}

b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} b

2π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{2\pi}

π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\pi}

π2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\frac{\pi}{2}}

π6\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\frac{\pi}{6}}

32π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{3}{2}\pi

4π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 4\pi