• Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen
  • Simon Brückner
  • 24.09.2020
  • Mathematik
  • 11
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Simon Brückner
Sinus- und Kosinusfunktion

Nachdem am Einheitskreis Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definiert werden können und mit dem Bogenmaß Winkel ohne zusätzliche Einheit angegeben werden können. Lassen sich jetzt die Sinus- und die Kosinusfunktion definieren.

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Berechnen Sie die gesuchten Funktionswerte und ergänzen Sie die Tabelle. Tipp: Nutzen Sie das Tabellen-Menü Ihres Taschenrechners.

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x

0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0

16π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{6}\pi

14π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{4}\pi

13π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{3}\pi

12π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{2}\pi

f(x)=sin(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=\sin(x)

120\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{0}}
=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small=0}

121\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{1}}
=0,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small=0{,}5}

122\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{2}}
0,71\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\approx0{,}71}

123\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{3}}
0,87\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\approx0{,}87}

124\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{4}}
1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\approx1}

g(x)=cos(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)=\cos(x)

124\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{4}}
=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small=1}

123\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{3}}
0,87\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\approx0{,}87}

122\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{2}}
0,71\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\approx0{,}71}

121\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{1}}
=0,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small=0{,}5}

120\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{0}}
=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small=0}

Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion skizzieren

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Skizzieren Sie damit die Graphen.
xyoriginOπ1-1g(x)=cos(x)f(x)=sin(x)
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Bestimmen Sie folgende Werte ohne neue Werte mit dem Taschenrechner zu berechnen.
  • sin(32π)=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sin(\frac{3}{2}\pi)=\cloze{\small-1}
  • cos(2π)=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cos(2\pi)=\cloze{\small1}
  • cos(76π)=0,87\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cos(\frac{7}{6}\pi)=\cloze{\small-0{,}87}
  • cos(12π)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cos(-\frac{1}{2}\pi)=\cloze{\small0}
  • sin(23π)=0,87\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sin(-\frac{2}{3}\pi)=\cloze{\small-0{,}87}
  • cos(76π)=0,87\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cos(-\frac{7}{6}\pi)=\cloze{\small-0{,}87}
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Die beiden Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert (Ihre Definitionsmenge ist also die Menge aller reellen Zahlen; D=R\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small\mathbb{D}=\mathbb{R}). Mit dem Taschenrechner lassen sich also auch Funktionswerte zu x-Werten berechnen, die kein rationales Vielfaches von π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small\pi sind.
Berechnen Sie entsprechend.
  • sin(2)=0,91\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sin(2)=\cloze{\small0{,}91}
  • cos(4)=0,65\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cos(-4)=\cloze{\small-0{,}65}
  • sin(100)=0,51\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sin(100)=\cloze{\small-0{,}51}