• Übung: Monotonie, Extrempunkte und Graphen
  • Simon Brückner
  • 07.12.2020
  • Mathematik
  • 11
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  • Übung: Monotonie, Extrempunkte und Graphen
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    Der nebenstehende Graph gehört zu einer Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f. Alle charakteristischen Punkte des Graphen sind abgebildet. Entscheiden Sie begründet, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
    • Der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f besitzt zwei Extrempunkte.
    • Für x]0;3[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in]0;3[ ist der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f monoton
      wachsend.
    • Für x<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x<0 ist f(x)<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(x)<0.
    • Der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f besitzt keine Wendepunkte.
    • f(2)<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f''(2)<0
    xGridLinesyGridLinesxLabels-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-1123yAxisyAxisLabelyoriginOf
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    Der nebenstehende Graph gehört zur Ableitungsfunktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'. Alle charakteristischen Punkte des Graphen sind abgebildet. Entscheiden Sie begründet, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
    • Der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f besitzt zwei Extrempunkte.
    • Für x]0;3[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in]0;3[ ist der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f monoton
      wachsend.
    • Für x<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x<0 ist f(x)<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(x)<0.
    • Für x<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x<0 ist f(x)<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f''(x)<0.
    • f(2)<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(2)<0.
    xGridLinesyGridLinesxLabels-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-1123yAxisyAxisLabelyoriginOf '
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    Die abgebildeten Graphen gehören zu den Funktionen g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g, h\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small h und g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g'. Ordnen Sie zu und begründen Sie Ihre Antwort.
    xGridLinesyGridLinesxLabels-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-1123yAxisyAxisLabelyoriginO
    xGridLinesyGridLinesxLabels-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-1123yAxisyAxisLabelyoriginO
    xGridLinesyGridLinesxLabels-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-1123yAxisyAxisLabelyoriginO
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    Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion j\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small j mit folgenden Eigenschaften.
    • Der Graph von j\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small j besitzt den y-Achsenschnitt y=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small y=2.
    • Für x]1;1[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in]-1;1[ ist der Graph von j\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small j monoton fallend.
    • j(3)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small j'(3)=0
    xGridLinesyGridLinesxLabels-11234xAxisxAxisLabelxyLabels123yAxisyAxisLabelyoriginO

    Für Experten

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    Gegeben ist g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g mit g(x)=x3kx\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g(x)=x^3-kx. Wie muss kR\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small k\in\mathbb{R} gewählt werden, damit x=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x=4 ...
    • ... eine Nullstelle von g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g ist?
    • ... eine Extremstelle von g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g ist?
    • ... in einem Intervall liegt, in dem g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g monoton fallend ist?
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    Zeigen Sie! (Tipp: Rechnen Sie oder geben Sie passende Beispiele)
    • f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f mit f(x)=sin(2x)+3x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=-sin(2x)+3x ist überall monoton wachsend.
    • Jede quadratische Funktion besitzt genau einen Extrempunkt.
    • Es gibt Funktionen vom Grad 3 ohne Extrempunkt.
    • Hat eine Funktion dritten Grades einen Extrempunkt, dann hat sie auch einen zweiten.
    • Wird ein Funktionsgraph in y-Richtung verschoben, ändern sich seine Monotonieintervalle nicht.