• Übung zur VL 4
  • Sabrina Blum
  • 08.12.2020
  • Mathematik
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  • Während des VL-Videos (Zum Selbst-Test)

    1
    Wie lautet die Strategie beim direkten Beweis? Was muss gezeigt werden?
    2
    Gerade und ungerade natürliche Zahlen
    • Füllen Sie die nachfolgende Multiplikationstabelle für zwei natürliche Zahlen a,b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a,b aus.
    • Geben Sie die Menge G\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} G der geraden und die Menge U\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} U der ungeraden natürlichen Zahlen allgemein an.

    ab\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a * b

    gerade

    ungerade

    gerade

    ungerade

    3
    Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen a\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a und b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} b gilt: Wenn a\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a gerade und b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} b ungerade ist, dann ist das Produkt ab\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a*b gerade.

    Bringen Sie den folgenden Beweis in die richtige Reihenfolge.
    (1-7)
    • ab=2k(2m+1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a*b=2k*(2m+1)
    • Insgesamt ist die Behauptung wahr.
    • ab=2(2km+k)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a*b=2*(2km+k)
    • ab\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a*b ist ein Vielfaches von 2
    • \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow Nach Definition der Eigenschaft gerade Zahl ist ab\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a*b gerade.
    • Seien a\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a eine gerade und b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} b eine ungerade natürliche Zahl.
    • D.h. (kN:a=2k)(mN0:b=2m+1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (\exists k \in \mathbb{N}: a=2k) \land (\exists m \in \mathbb{N}_{0}: b=2m+1)

    Ein Beispiel ist kein Beweis!

    4
    Notieren Sie sich die wichtigsten Fachbegriffe, die Sie heute gehört haben.
    5
    An welchen Stellen kommen Sie in der VL nicht weiter? Was genau ist unklar geblieben? (Unklarheiten bitte ins Etherpad in Ilias schreiben)
  • Nach dem VL-Video (Für die Übungsgruppe)

    Hinweis: Diese Aufgaben werden in der Übung am 01.12.2020 behandelt.

    Eine aktive Beschäftigung VOR dieser Übung lohnt sich, um zu besseren Lernergebnissen zu kommen. Die Aufgaben müssen nicht vollständig gelöst sein, bringen Sie aber bitte Lösungsansätze für eine produktive Diskussion mit.

    1
    Sammeln Sie Beweisstrategien aus VL4 und ergänzen Sie diese durch weitere Ideen.
    • Figuren zerlegen
    • auf bekannte Sätze und Definitionen zurückgreifen
    • Terme vereinfachen

    Tipps & Tricks beim Beweisen

    Prof. Christian Spannagel:
    3 Strategietipps, um Sätze zu finden und zu beweisen
    2
    Behauptung: Die Quadrate ungerader natürlicher Zahlen sind immer um 1 größer als ein Vielfaches von 4.
    • Übersetzen Sie die Behauptung in einen mathematischen Ausdruck.
    • Notieren Sie einen Beweisansatz (direkter Beweis).