• Übung zur VL 8
  • anonym
  • 13.01.2021
  • Mathematik
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
  • Während des VL-Videos (Zum Selbst-Test)

    1
    Vervollständigen Sie die Definition einer Potenzmenge.

    Sei M\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M eine Menge. Dann besteht die Potenzmenge P(M)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} P(M) aus von (dabei wird die Menge mit einbezogen). Die Elemente der Potenzmenge sind also . Falls M\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M eine endliche Menge mit n\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} n Elementen ist, besteht ihre Potenzmenge P(M)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} P(M) aus genau Elementen.

    2
    Vervollständigen Sie die Definition einer Abbildung bzw. einer Funktion.

    Eine Relation RA×B\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R \subseteq A \times B heißt Abbildung oder Funktion von A\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} A nach B\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} B, wenn sie die folgende Eigenschaft besitzt: Zu xA\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x \in A existiert yB\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y \in B, so dass (x,y)R\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (x,y) \in R. Alternativ schreibt man auch und nennt f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f eine Abbildung von A\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} A nach B\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} B. Man schreibt auch f:AB\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:A\rightarrow B.

    3
    Betrachten Sie die Abbildung f:NN\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} mit f(n)=n2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(n)=n^2. Wahr oder falsch?
    • 7 ist Bild von 49
    • 49 ist Bild von 7
    • Die Bildmenge von C={5,8,12}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} C=\{5{,}8,12\} besteht aus genau 3 Elementen.
    • 49f(C)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 49 \in f(C), wobei C={5,8,12}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} C=\{5{,}8,12\}
    • f1(64)=8\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f^{-1}(64)=8
    • Das Urbild von 7 ist 7\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \sqrt{7}.
    4
    Für injektive Abbildungen existieren die folgenden beiden äquivalenten Formulierungen:
    x1,x2A:x1x2f(x1)f(x2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \forall x_1, x_2 \in A: x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)
    x1,x2A:f(x1)=f(x2)x1=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \forall x_1, x_2 \in A: f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1= x_2
    • Warum sind diese beiden Formulierungen äquivalent?
    • Wie zeigt man in einem Pfeildigramm die Injekivität?
    • Welche Grenzen hat ein Pfeildiagramm, um die Injektivität zu untersuchen? (Wann kann man nur mit der Definition arbeiten?)
  • Nach dem VL-Video (Für die Übungsgruppe)

    Hinweis: Diese Aufgaben werden in der Übung am 19.01.2021 behandelt.

    Eine aktive Beschäftigung VOR dieser Übung lohnt sich, um zu besseren Lernergebnissen zu kommen. Die Aufgaben müssen nicht vollständig gelöst sein, bringen Sie aber bitte Lösungsansätze für eine produktive Diskussion mit.

    1
    Sei RN×N\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} eine Relation mit der Eigenschaft
    (a,b)Ra+bist gerade.\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (a,b)\in R \Leftrightarrow a+b \hspace{6pt} \text{ist gerade}.
    • Finden Sie Zahlenbeispiele, sodass (a,b)R\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (a,b) \in R.
    • Vervollständigen Sie die folgende Additionstabelle für zwei natürliche Zahlen a,b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a,b.

    a+b

    gerade

    ungerade

    gerade

    gerade

    ungerade

    2
    Seien M1={1,2,3,4}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M_1=\{1{,}2,3{,}4\}, M2={7,9,10,18,23,25}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M_2=\{ 7, 9, 10, 18, 23, 25\} und M3={4,5,6,7,8,9}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M_3=\{4{,}5,6{,}7,8{,}9\}.
    Zeichnen Sie für jede der folgenden Relationen ein Pfeildiagramm.
    • R1={(2,18),(4,23),(2,25),(3,10),(1,7)}M1×M2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R_1=\{ (2{,}18), (4{,}23), (2, 25), (3{,}10), (1{,}7) \} \subseteq M_1 \times M_2
    • R2={(2,18),(4,23),(1,7)}M1×M2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R_2= \{ (2{,}18), (4{,}23), (1{,}7) \} \subseteq M_1 \times M_2
    • R3={(1,5),(3,7),(4,8),(2,6)}M1×M3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R_3= \{ (1{,}5), (3{,}7), (4{,}8), (2{,}6) \}\subseteq M_1 \times M_3
    Beispiel: Pfeildiagramm zu a)