• Übung zur VL 9
  • anonym
  • 20.01.2021
  • Mathematik
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  • Während des VL-Videos (Zum Selbst-Test)

    1
    Vervollständigen Sie die folgende Tablle zu den Eigenschaften von Abbildungen bzw. Funktionen.

    Eigenschaft

    Im Pfeildiagramm heißt das...

    math. Symbolsprache

    injektiv


    surjektiv


    bijektiv


    2
    Betrachten Sie die Abbildung
    f:NN\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} mit f(n)=n2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(n)=n^2.
    Wahr oder falsch?
    • f ist injektiv
    • f ist surjektiv
    • f ist bijektiv
    • f besitzt eine Umkehrfunktion
    3
    Betrachten Sie die Abbildung
    f:ZZ\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} mit f(x)=x5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x-5.
    Wahr oder falsch?
    • f ist injektiv
    • f ist surjektiv
    • f ist bijektiv
    • f besitzt eine Umkehrfunktion
    4
    Betrachten Sie die Abbildung
    f:ZZ\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} mit f(x)=2x+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2x+1.
    Wahr oder falsch?
    • f ist injektiv
    • f ist surjektiv
    • f ist bijektiv
    • f besitzt eine Umkehrfunktion
    5
    Betrachten Sie die Abbildung
    f:QQ\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q} mit f(x)=2x+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2x+1.
    Wahr oder falsch?
    • f ist injektiv
    • f ist surjektiv
    • f ist bijektiv
    • f besitzt eine Umkehrfunktion
    6
    Vervollständigen Sie die folgende Definition für eine Verkettung von Funktionen.

    Gegeben seien zwei Abbildungen f:AB\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f:A\rightarrow B und g:BC.\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g:B\rightarrow C. Die Abbildung, welche xA\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x \in A den g(f(x))C\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(f(x)) \in C zuordnet, nennt man Verkettung bzw. von g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g und f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f. Man schreibt dafür: (gf)(x)=g(f(x))\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (g \circ f)(x)=g(f(x)) und spricht .

  • Nach dem VL-Video (Für die Übungsgruppe)

    Hinweis: Diese Aufgaben werden in der Übung am 26.01.2021 behandelt.

    Eine aktive Beschäftigung VOR dieser Übung lohnt sich, um zu besseren Lernergebnissen zu kommen. Die Aufgaben müssen nicht vollständig gelöst sein, bringen Sie aber bitte Lösungsansätze für eine produktive Diskussion mit.

    1
    Seien M1={1,2,3,4}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M_1=\{1{,}2,3{,}4\} und M3={4,5,6,7,8,9}\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} M_3=\{4{,}5,6{,}7,8{,}9\}. Dann ist nach Übung 8 die folgende Relation eine Abbildung:
    R3={(1,5),(3,7),(4,8),(2,6)}M1×M3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R_3= \{ (1{,}5), (3{,}7), (4{,}8), (2{,}6) \}\subseteq M_1 \times M_3.
    • Tragen Sie die Elemente von R3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} R_3 in ein Koordinatensystem ein.
    • Geben Sie die Abbildungsvorschrift der zugehörigen Abbildung an.
    2
    Es sei f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f eine Abbildung mit f ⁣:ZZ\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f\colon \mathbb Z\to \mathbb Z und Abbildungsvorschrift f(x)=x.\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=\left| x \right|.
    • Zeichnen Sie den dazugehörigen Funktionsgraphen.
    • Wie sieht der Funktionsgraph für f ⁣:NN\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f\colon \mathbb N\to \mathbb N aus?