Der abgebildete Graph stellt eine Funktion f dar.
Hinweis
Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem Klausurpapier mit einem blauen oder schwarzen Stift. Zeichnungen werden mit angespitztem Bleistift angefertigt und mit blauem oder schwarzem Stift beschriftet. Um die volle Punktzahl zu erhalten, sollten Sie für das Lösen der Aufgaben stets den Rechenweg angeben. Achten Sie bei Textaufgaben auf einen Antwortsatz.
Viel Erfolg bei der Arbeit!
Hilfsmittelfreier Teil
1
a)
Einer der folgenden Graphen I, II oder III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von f. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
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b)
Die Funktion ist gegeben. Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle .
44
2
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f mit dargstellt.
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P (3|6) heißt , diejenige im Punkt Q (0|0) heißt .
a)
Es ist .
Ermitteln Sie zeichnerisch die Nullstelle der Tangente .
Ermitteln Sie zeichnerisch die Nullstelle der Tangente .
33
b)
Prüfen Sie rechnerisch, ob die Tangente durch P verläuft.
44
3
Entscheiden Sie für die unten stehenden Aussagen, welche
• immer gelten.
• nie gelten.
• nur in bestimmten Fällen gelten.
Begründen Sie Ihre Wahl.
• immer gelten.
• nie gelten.
• nur in bestimmten Fällen gelten.
Begründen Sie Ihre Wahl.
88
- Wenn gilt, dann hat der Graph von f bei x0 einen Sattelpunkt.
- Wenn und ist, dann hat der Graph von f bei x0 einen Sattelpunkt.
- Wenn und ist, dann hat der Graph von f in H(1|4) einen Hochpunkt.
- Wenn und ist, dann hat der Graph von an der Stelle x0 einen Tiefpunkt.
Hilfsmittel Teil
4
Skizzieren Sie die Ableitungsfunktion des Graphen in das Koordinatensystem.
66
5
Gegeben ist die Funktion f mit .
a)
Berechnen Sie die Nullstellen sowie die Extrempunkte des Graphen von f.
66
b)
Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Monotonie sowie das Verhalten von f für .
44
c)
Skizzieren Sie mit den Informationen aus a) und b) den Graphen von f im Koordinatensystem auf der folgenden Seite.
44
d)
Skizzieren Sie die Tangente t durch (0|0). Bestimmen Sie anschließend ihre Gleichung.
66
6
Fig. 1 zeigt den Graph der Ableitungsfunktion einer Funktion . Entscheiden Sie, welche der unten stehenden Aussagen richtig bzw. falsch sind. Begründen Sie Ihre Antworten.
88
- Die Funktion f ist im Intervall
]-1;1[ streng monoton
zunehmend. - Die Funktion f hat zwischen
und ein
Extremum. - Der Graph von f hat einen
Tiefpunkt. - Es kann sein, dass f keine
Nullstelle hat.
7
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion k mit
und .
und .
Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für
modellhaft durch die Funktion beschrieben werden. Dabei ist die
Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und die Laktatkonzentra-
tion in Millimol pro Liter ( ).
Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für
modellhaft durch die Funktion beschrieben werden. Dabei ist die
Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und die Laktatkonzentra-
tion in Millimol pro Liter ( ).
a)
Der Tabelle können einzelne Werte entnommen werden, die während des Tests gemessen wurden.
Berechnen Sie mit k(13) den theoretischen Wert der Laktatkonzentration.
Ermitteln Sie im Anschluss die prozentuale Abweichung der Laktatkonzentration zwischen dem berechneten und dem tatsächlich gemessenen Wert.
Berechnen Sie mit k(13) den theoretischen Wert der Laktatkonzentration.
Ermitteln Sie im Anschluss die prozentuale Abweichung der Laktatkonzentration zwischen dem berechneten und dem tatsächlich gemessenen Wert.
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