Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.

Vergleich der Flächeninhaltsformeln

Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks durch die Formel

Für den Winkel α gilt:

eingesetzt in die Flächeninhaltsformel ist:

A_{c} = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}

sin α = \frac{h _{c}}{b}

⟶ h_{c} = sin α \cdot b

A_{c} = \frac{1}{2} c \cdot b \cdot s in α

Wir wiederholen das Vorgehen für die Grundseiten a und b und erhalten damit:

A_{a} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot sin β

A_{b} = \frac{1}{2} b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} b \cdot a \cdot sin γ

Die Flächeninhalte sind alle identisch, da wir das gleiche Dreieck betrachten. Daher können wir die Terme gleichsetzen.

\frac{1}{2} c \cdot b \cdot sin α = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot sin β = \frac{1}{2} b \cdot a \cdot sin γ

∣ \cdot 2

∣ : (ab c)

c \cdot b \cdot sin α = a \cdot c \cdot sin β = b \cdot a \cdot sin γ

\frac{s i n α}{a} = \frac{s i n β}{b} = \frac{s i n γ}{c}

Untersuchung der Höhe in den verschiedenen Dreiecksarten

Wir zeichnen die Höhe h_c ein und stellen damit folgende Beziehungen auf:

Diese Formeln werden nach h_c aufgelöst und gleichgesetzt.

⟶ h_{c} = sin α \cdot b

sin α = \frac{h _{c}}{b}

sin β = \frac{h _{c}}{a}

⟶ h_{c} = sin β \cdot a

∣ : (ab)

sin β \cdot a = sin α \cdot b

\frac{s i n β}{b} = \frac{s i n α}{a}

Gleiches wird mit der Höhe h_a und h_b wiederholt.

Diese Formeln werden nach h_a bzw. h_b aufgelöst und gleichgesetzt.

sin α = \frac{h _{b}}{c}

sin β = \frac{h _{a}}{c}

sin γ = \frac{h _{b}}{a}

sin γ = \frac{h _{a}}{b}

\frac{s i n β}{b} = \frac{s i n α}{a} = \frac{s i n γ}{c}

Dieses Vorgehen wird genauso für stumpfwinklige und rechtwinklige Dreiecke wiederholt.

Wir zeichnen um das Dreieck einen Umkreis.
Wenn wir zwei Punkte (A&B) fest lassen und nur den dritten Punkt C variieren, so ändert sich auf grund des Peripheriewinkelsatzes der Winkel am Punkt C nicht.
Wir drehen wir den Punkt C so weit, dass die Seite b durch den Mittelpunkt geht und damit ein Durchmesser d ist.
Laut Satz des Thales am gegenüberliegenden Punkt B ein rechter Winkel.
Beschreiben wir damit γ:

Beziehungen der Winkel am Umkreis

sin γ = \frac{c}{d}

⟶ d = \frac{c}{s i n γ}

Das gleiche Vorgehen beim Verschieben des Punktes A & B führt zu:

sin α = \frac{a}{d}

⟶ d = \frac{a}{s i n α}

sin β = \frac{b}{d}

⟶ d = \frac{b}{s i n β}

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ}

Die Formeln für d gleichsetzen: