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4 Achsenspiegelung

4.2 Weitere Eigenschaften der Achsenspiegelung

Hinweis

Mache einen Haken, wenn du alle Aufgaben eines Lernpakets gelöst hast und lasse dir von deiner Fachlehrerin oder deinem Fachlehrer mit einem Stempel bestätigen, dass alles erledigt ist.

Teilziele: Los geht´s!

Ich kann in GeoGebra eine Achsenspiegelung durchführen.

Ich kann in GeoGebra Punkte dynamisch verschieben und so Eigenschaften betrachten.

Ich kenne die weiteren Eigenschaften der Achsenspiegelung und weiß, was sie bedeuten.

Du brauchst:

Alles erledigt? Geh zu deiner Mathe-Lehrkraft für den Check-out-Stempel!

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Du sollst nun mithilfe der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra die weiteren Eigenschaften der Achsenspiegelung untersuchen. Das Programm GeoGebra hast du im letzten Schuljahr bereits kennengelernt.

1

Öffne nun GeoGebra auf deinem Tablet. Das Programm hat
folgendes Symbol:

Überprüfe, ob dein angezeigtes Koordinatensystem folgende Kriterien erfüllt und hake ab:

Dein Koordinatensystem sieht nicht so aus, wie gefordert und du hast keine Ahnung, wie du das hinbekommen sollst? Versuche nacheinander folgende Schritte zur Problemlösung:

Lies im Lernpaket M Geometrie am Tablet - GeoGebra: Einführung aus dem letzten Schuljahr nach. Es liegt im aktuellen mebis-Kurs bei Kapitel 4.2 bereit. Es klappt immer noch nicht? Dann
Frage einen Mitschüler oder eine Mitschülerin um Hilfe. Es klappt immer noch nicht? Dann
Frage deine Mathelehrkraft.

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2

Zeichne nun in GeoGebra die folgenden Punkte ein:
A(-3|-7), B(1|-5), C(-3|3), D(2|-7), E(6|5).
Erinnerung: Du kannst die Punkte entweder einzeichnen, indem du das Punktewerkzeug auswählst und dann an die entsprechende Stelle im Koordinatensystem klickst, oder indem du in die Eingabezeile links im Algebrafenster den Namen und die Koordinaten nach dem Muster A(-2,-4) eingibst. Die Punktkoordinaten musst du hier durch ein Komma trennen. Dezimalzahlen werden mit einem Punkt eingegeben.

a)

Zeichne die Gerade DE mithilfe des Geradenwerkzeugs und nenne sie s.
Erinnerung: Zum Umbenennen musst du das Auswahlwerkzeug aktivieren, die Gerade lang antippen und dann im Kontextmenü Umbenennen auswählen. Dann kannst du den gewünschten Namen eingeben.

b)

Zeichne das Dreieck ABC mithilfe des Werkzeugs Vieleck.
Wähle dazu das Werkzeug aus und klicke nacheinander die Punkte A, B und C an. Zum Abschluss musst du noch einmal den Startpunkt, also A anklicken.

c)

Nun sollst du das Dreieck ABC an der Spiegelachse s spiegeln. Im Heft müsstest du dazu nacheinander erst den Punkt A auf den Punkt A', dann B auf B' und dann C auf C' spiegeln und das Dreieck A'B'C' verbinden. Auch die einzelnen Spiegelungen bestehen auf dem Papier aus einigen Einzelschritten.

In GeoGebra gibt es hierzu ein Werkzeug, das den ganzen Vorgang deutlich schneller macht. Es ist das Werkzeug Spiegle an Gerade.
Im grauen Kontextmenü erscheint nach Auswahl des Werkzeugs
der Text Wähle ein Objekt, dann eine Gerade als Spiegelachse.
Also kannst du jetzt erst das Werkzeug auswählen, dann in die Fläche des Dreiecks ABC klicken und zum Schluss auf die Gerade s.
GeoGebra spiegelt nun alle Eckpunkte des Dreiecks, benennt sie
korrekt und verbindet sie zum neuen, gespiegelten Dreieck A'B'C'.
Und das mit nur drei Klicks...

Ergänze hier die Koordinaten der Bildpunkte A', B' und C':

A'( ), B'( ), C'( )

Achte auf die korrekte Schreibweise der Punktkoordinaten!

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d)

Um weitere Eigenschaften der Achsenspiegelung zu untersuchen, sollst du nun von GeoGebra bestimmte Werte messen lassen.
Um die Länge einer Strecke zu ermitteln, musst folgende Schritte durchführen:
(1) Aktiviere das Auswahlwerkzeug
(2) Klicke die Strecke a an.
(3) Öffne oben rechts das Einstellungsfenster
(falls es nicht sowieso schon geöffnet ist).
(4) Wähle dort die Schaltfläche Beschriftung aus.
(5) Lasse Name & Wert anzeigen.
Dann steht beispielsweise neben der Strecke a a=8.94. Das heißt, die Strecke a ist 8,94 Längeneinheiten (kurz: 8,94 LE) lang.

Lasse dir nun so alle geforderten Streckenlängen anzeigen und notiere sie hier:

a = 8,94 LE; b = ; c = ;

a' = ; b' = ; c' = ;

e)

GeoGebra kann nicht nur Streckenlängen, sondern auch Winkelmaße bestimmen.
Um beispielsweise das Maß des Winkels

α

beim Punkt A zu bestimmen, musst folgende Schritte durchführen:
(1) Aktiviere das Winkelwerkzeug.
(2) Klicke die beiden Strecken an, die den Winkel begrenzen. In unserem Beispiel also die Strecken b und c.
Dann steht jetzt bei dem Winkel:

α = 63.43°

, das heißt der Winkel hat das Maß 63,43°.

Lasse dir nun so Winkelmaße anzeigen und notiere sie hier:

$α = 63, 43°; β = 90°; γ = 26, 57°; α^{'} = 63, 43°; β^{'} = 90°; γ^{'} = 26, 57°$

Achtung! GeoGebra benennt die Winkelmaße in der Reihenfolge, in der du sie bestimmst. Es wäre also sinnvoll, wenn du dir erst den Winkel bei A, dann den bei B, dann den bei C anzeigen lässt. Den Winkel bei A' nennt GeoGebra dann $δ$ , obwohl er korrekt $α^{'}$ heißten müsste.

f)

Speichere die GeoGebra-Datei in deinen eigenen Dateien in einem Ordner Mathematik unter dem Namen Vorname_Nachname_4.2_Aufgabe2 ab.

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Wenn du möchtest, kannst du nun den Winkel bei A' noch $α^{'}$ , den bei B' noch $β^{'}$ und den bei C' noch $γ^{'}$ nennen.

Dein GeoGebra-Fenster müsste nun in etwa so aussehen:

3

Vergleiche nun die Maße von Ur- und Bildstrecke, die du in Aufgabe 2d ermittelt hast und von Ur- und Bildwinkel, die du in Aufgabe 2e ermittelt hast. Was fällt dir auf?
Vergleiche zudem die Orientierung bei der Benennung der Dreiecke ABC und A'B'C'.
Notiere deine Beobachtungen hier:

4

Es könnte nun sein, dass die Angaben für Aufgabe 2 so geschickt ausgewählt wurden, dass die von dir beobachteten Eigenschaften nur bei diesen Zahlen zutreffen. Daher darfst du jetzt an allen gegebenen Punkten (A, B, C, D, E) ziehen und überprüfen, ob die Eigenschaften aus Aufgabe 3 immer noch zutreffen. Notiere hier deine Beobachtung:

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5

Notiere nun in deinem Heft die Überschrift
4.2 Weitere Eigenschaften der Achsenspiegelung
Notiere dann den folgenden Kasten als Merksatz:

Eine Achsenspiegelung erfüllt immer folgende Eigenschaften:

Die Achsenspiegelung ...

ist eine Kongruenzabbildung. Das heißt, Urfigur und Bildfigur sind kongruent (= deckungsgleich).
ändert den Umlaufsinn von Figuren.
ist längentreu. Das heißt Ur- und Bildstrecke sind gleich lang.
ist winkeltreu. Das heißt Ur- und Bildwinkel haben das gleiche Maß.

6

Öffne nun erneut GeoGebra und erstelle eine neue Datei.
Bei der Frage, ob du deine Änderungen speichern möchtest, kannst du verwerfen auswählen, wenn du die alte Datei wie bei Aufgabe 2f angegeben gespeichert hast.

Erstelle nun eine beliebige Gerade, die du in Linienstärke 10 und lila formatierst und die du mit s benennst. Diese Gerade soll die Spiegelachse sein.

Erstelle nun eine weitere beliebige Gerade, deren Formatierung du nicht änderst und die f heißen soll. Spiegele die Gerade f an der Geraden s.

Ändere dann durch Ziehen an einem der vier Punkte, durch Ziehen die Lage von f und s zueinander und notiere Beobachtungen zu folgenden Fällen:

Wo liegt der Schnittpunkt von f und f'?
Gibt es immer einen solchen Schnittpunkt? Falls nicht, wann ist das der Fall?
Kannst du immer eine Gerade f' sehen? Falls nicht, wann ist das der Fall?

Speichere die GeoGebra-Datei in deinen eigenen Dateien in einem Ordner Mathematik unter dem Namen Vorname_Nachname_4.2_Aufgabe6 ab.

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Erstelle nun in der GeoGebra-Datei von Aufgabe 6 eine beliebige
Gerade g, die parallel zu f verläuft. Hierzu brauchst du das Werkzeug
Parallele Gerade. Wähle es aus, klicke dann an eine beliebige Stelle für einen neuen Punkt und klicke dann f an.
Spiegele g auch an s und beobachte die Lage von g' und f' zueinander. Überprüfe deine Vermutung, indem du die Positionen von g oder f veränderst.
Notiere deine Beobachtung hier:

Speichere die GeoGebra-Datei in deinen eigenen Dateien in einem Ordner Mathematik unter dem Namen Vorname_Nachname_4.2_Aufgabe7 ab.

8

Lösche nun in der GeoGebra-Datei von Aufgabe 7 die Geraden g und f. Da g' und f' durch Achsenspiegelung der beiden Geraden entstanden sind, werden diese automatisch mitgelöscht.
Nun sollst du einen beliebigen Kreis k erzeugen. Hierzu brauchst du
das Werkzeug Kreis mit MP durch Punkt. Wähle es aus, klicke dann an eine beliebige Stelle für den Mittelpunkt des Kreises und an eine andere Stelle für einen Punkt, der durch die Kreislinie verläuft. Nenne den Kreismittelpunkt M und die Kreislinie k. Spiegele k an s.

Welche Form hat das Bild k'? Wo liegen die Schnittpunkte von k und k', falls es welche gibt? Kannst du die Lage des Kreises so verändern, dass k und k' identisch sind? Wenn ja, wie?

Notiere hier deine Beobachtungen:

Speichere die GeoGebra-Datei in deinen eigenen Dateien in einem Ordner Mathematik unter dem Namen Vorname_Nachname_4.2_Aufgabe8 ab.

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Ergänze dann den Merksatz aus Aufgabe 5 mit dem Inhalt des folgenden Kastens (das grau markierte hast du schon bei Aufgabe 5 abgeschrieben):

(...)

ist winkeltreu. Das heißt Ur- und Bildwinkel haben das gleiche Maß.
ist geradentreu. Das heißt, dass das Bild einer Geraden auch eine Gerade ist.
ist kreistreu. Das heißt, dass das Bild eines Kreises auch ein Kreis ist.
ist parallelentreu. Das heißt, dass das Bild paralleler Geraden auch wieder parallele Geraden sind.

Außerdem gilt bei jeder Achsenspiegelung:

Da die Spiegelachse nur aus Fixpunkten besteht, ist sie eine Fixpunktgerade.
Alle Geraden, die nicht parallel zur Spiegelachse verlaufen, schneiden sich mit ihrer Bildgeraden auf der Spiegelachse.
Geraden, die senkrecht zur Spiegelachse stehen, werden auf sich selbst abgebildet. Sie sind also Fixgeraden.
Geraden, die parallel zur Spiegelachse verlaufen, werden auf parallele Geraden abgebildet.
Kreise, deren Mittelpunkt auf der Spiegelachse liegt, werden auf sich selbst abgebildet. Sie sind also Fixkreise.

10

Schau dir zum Abschluss das Video an, das du beim scannen des nebenstehenden QR-Codes öffnen kannst. Es erklärt alle Eigenschaften des Merksatzes noch einmal.

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