• Momentane Änderungsrate
  • anonym
  • 01.12.2019
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  • Die Strecke (in Meter) einer frei fallenden Kugel kann näherungsweise mit der Funktion f(t)=5t2\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(t)=5*t^2 beschrieben werden (t in Sekunden ab dem Loslassen der Kugel)

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    Die Änderungsrate gibt dann die Geschwindigkeit der Kugel an. Berechne zunächst die mittlere Geschwindigkeit für das Zeitintervall zwischen 1 und 2 Sekunden.


    a) Berechnung der Mittleren Änderungsrate für das Intervall [1,2]\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} [1,2]:


    f(2)f(1)21\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{f(2) - f(1)}{2-1}=


    Die mIttlere Geschwindigkeit im Zeitraum zwischen einer und zwei Sekunden ist demnach:

    Die Steigung der Sekanten ist also m=

    b) Graphische Lösung:

    Graphische Lösung:

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    Berechne nun weitere Durchschnittsgeschwindigkeiten für immere kleinere Zeitintervalle (Bsp. i) [1,1.5]\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} [1, 1.5]; ii) [1,1.1]\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} [1, 1.1]; iii) [1,1.01]\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} [1, 1.01] usw.) und stelle eine Vermutung für die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=1 (also nach einer Sekunde) auf.


    Vermutung für die Geschwindigkeit
    zum Zeitpunkt t=1:


    Beweis für die Vermutung:

    Graphische Lösung:

    Ableitung - momentane Änderungsrate