• Polynomialgleichungen lösen
  • ponticus
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  • 06.03.2019
  • Mathematik
  • 11
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  • Gleichungen lösen

    Für lineare und quadratische Gleichungen - also Gleichungen ersten und zweiten Grades - kennen Sie bereits Verfahren, um diese zu lösen. Für Gleichungen höheren Grades benötigen Sie zusätzliche Verfahren. Einige werden hier vorgestellt. Die Beispielaufgaben werden in den verlinkten Videos gelöst.

    Lösung mithilfe der n-ten Wurzel
    Bedingung: x kommt nur mit einer Potenz vor.
    Beispiel: 3x3+2=83\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 3x^3+2=83

    Lösung mithilfe des Satzes vom Nullprodukt
    Bedingung: Eine Seite der Gleichung ist 0, die andere ein Produkt.
    Beispiel: (x3)(x24)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (x-3)(x^2-4)=0

    Lösung durch Ausklammern
    Bedingung: Eine Seite der Gleichung ist 0, auf der anderen ist x in jedem Summanden enthalten.
    Beispiel: x3+9x=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3+9x=0

  • Lösung durch Substitution
    Bedingung: Alle x-Potenzen besitzen einen gemeinsamen Teiler
    Beispiel: x43x24=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-3x^2-4=0

    Übung

    1
    Bestimmen Sie die Lösungsmenge durch Wurzelziehen.
    • x364=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3-64=0
    • x4256=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-256=0
    • 256+x4=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 256+x^4=0
    2
    Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt.
    • (x+3)(x38)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (x+3)(x^3-8)=0
    • x39x=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3-9x=0
    • x4+16x2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+16x^2=0
    3
    Bestimmen Sie die Lösungsmenge durch Substitution.
    • 12x4+x2=1,5\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{1}{2}x^4+x^2=1,5
    • x4x22=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-x^2-2=0
    • x6+9x3+8=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^6+9x^3+8=0
    4
    Notieren Sie hinter der jeweiligen Gleichung, ob sie durch (A)usklammern, (L)ösungsformel, (W)urzelziehen oder (S)ubstitution gelöst werden kann. Und bestimmen Sie die Lösungsmenge.
    • x4x=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-x=0
    • x2=x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^2=x
    • x4+x220=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+x^2-20=0
    • x44x2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-4x^2=0
    • x33x2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3-3x^2=0
    • x2+6x=8\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^2+6x=-8
    • x4+256=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+256=0
    • x47x3+10x2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-7x^3+10x^2=0
    • x3+x=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3+x=0
    • x3+5x2+8x=4x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3+5x^2+8x=4x
    • x4+5x2+4=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+5x^2+4=0
    • x4+3x34x2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+3x^3-4x^2=0
    • x4+7x2+12=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+7x^2+12=0
    • x31=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3-1=0
    • x4+1=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+1=0
    • x4+3x2+2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4+3x^2+2=0
    • x34x2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^3-4x^2=0
    • x42x2=8\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x^4-2x^2=8
    5
    Erklären Sie, warum folgende Gleichungen nicht mit den genannten Verfahren gelöst werden können.
    • 2x5x3+2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 2x^5-x^3+2=0 nicht per Substitution
    • 2x5x3+2=0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 2x^5-x^3+2=0 nicht per Ausklammern
    • (x4)(x2+1)=1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (x-4)(x^2+1)=-1 nicht per Satz vom Nullprodukt