• Potenz- und Polynomfunktionen
  • ponticus
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  • 25.02.2019
  • Mathematik
  • 11
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  • Grad und Koeffizienten

    Definitionen

    Eine Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f, deren Gleichung in der Form f(x)=axn\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a \cdot x^n geschrieben werden kann, heißt Potenzfunktion vom Grad n\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} n mit Leitkoeffizient a\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a.

    Eine Polynomfunktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f ist eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen dargestellt werden kann: f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0

    Die Werte an,an1,,a0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a_n, a_{n-1}, \dots , a_0 heißen Koeffizienten. Dabei heißt an\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a_n0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0 Leitkoeffizient und a0\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a_0 heißt Absolutglied. Der Grad von f\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f ist n\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} n.

    1
    Ergänzen Sie die Tabelle!

    Gleichung

    Potenz-funktion?

    Polynom-funktion?

    Grad

    Koeffizienten
    (Leitk.,...,Absolutgl.)

    f(x)=4x3\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=4x^3

    g(x)=2x4+x2\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x)=-2x^4+x^2

    h(x)=x3+3x4+2,5\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} h(x)=-x^3+3x^4+2,5

    j(x)=2(x1)2(x+2)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} j(x)=2(x-1)^2(x+2)

    2
    Ordnen Sie die obenstehenden Gleichungen den abgebildeten Graphen zu! Begründen Sie Ihre Zuordnung durch Verweis auf Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied.

  • Verhalten im Unendlichen

    Tipp

    Das Verhalten im Unendlichen lässt sich anhand des Grades n\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} n und des Leitko-effizienten an\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a_n ablesen.

    3
    Geben Sie das Verhalten im Unendlichen an!
    • f(x)=2x2+3x1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2x^2+3x-1
    • f(x)=x54x4+2\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=-x^5-4x^4+2
    • f(x)=3x31\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=3x^3-1
    • f(x)=4x2\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=-4x^2
    • f(x)=(x3)(x+1)(x4)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=(x-3)(x+1)(x-4)

    Symmetrie

    Symmetrie

    Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit geradem Grad aufgefasst werden kann, heißt gerade. Ihr Graph ist dann achsensymmetrisch zur y-Achse.
    Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit ungeradem Grad aufgefasst werden kann, heißt ungerade. Ihr Graph ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.

    4
    Welche der folgenden Funktionen sind gerade, welche ungerade?
    • f(x)=2x3x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2x^3-x
    • f(x)=x(2x3x)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x(2x^3-x)
    • f(x)=x64x2+1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^6-4x^2+1
    • f(x)=2x3x+4\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2x^3-x+4
    5
    Ordnen Sie die Gleichungen den Graphen zu.
    Bestimmen Sie fehlenden Parameter mithilfe des Graphen.
    • f(x)=2x+2x²+a\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x) = -2x⁴ + 2x² + a
    • g(x)=x+xb\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x) = -x⁴ + x - b
    • h(x)=x42x2+cx+d\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} h(x)=x^4-2x^2+cx+d