• Potenz- und Polynomfunktionen
  • ponticus
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  • 25.02.2019
  • Mathematik
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    Grad und Koeffizienten

    Definitionen

    Eine Funktion ff, deren Gleichung in der Form f(x)=axn f(x)=a \cdot x^n geschrieben werden kann, heißt Potenzfunktion vom Grad nn mit Leitkoeffizient aa.

    Eine Polynomfunktion ff ist eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen dargestellt werden kann: f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0

    Die Werte an,an1,,a0a_n, a_{n-1}, \dots , a_0 heißen Koeffizienten. Dabei heißt ana_n00 Leitkoeffizient und a0a_0 heißt Absolutglied. Der Grad von ff ist nn.

    1
    Ergänzen Sie die Tabelle!

    Gleichung

    Potenz-funktion?

    Polynom-funktion?

    Grad

    Koeffizienten
    (Leitk.,...,Absolutgl.)

    f(x)=4x3f(x)=4x^3

    g(x)=2x4+x2g(x)=-2x^4+x^2

    h(x)=x3+3x4+2,5h(x)=-x^3+3x^4+2,5

    j(x)=2(x1)2(x+2)j(x)=2(x-1)^2(x+2)

    2
    Ordnen Sie die obenstehenden Gleichungen den abgebildeten Graphen zu! Begründen Sie Ihre Zuordnung durch Verweis auf Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied.

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    Verhalten im Unendlichen

    Tipp

    Das Verhalten im Unendlichen lässt sich anhand des Grades nn und des Leitko-effizienten ana_n ablesen.

    3
    Geben Sie das Verhalten im Unendlichen an!
    • f(x)=2x2+3x1f(x)=2x^2+3x-1
    • f(x)=x54x4+2f(x)=-x^5-4x^4+2
    • f(x)=3x31f(x)=3x^3-1
    • f(x)=4x2f(x)=-4x^2
    • f(x)=(x3)(x+1)(x4)f(x)=(x-3)(x+1)(x-4)

    Symmetrie

    Symmetrie

    Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit geradem Grad aufgefasst werden kann, heißt gerade. Ihr Graph ist dann achsensymmetrisch zur y-Achse.
    Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit ungeradem Grad aufgefasst werden kann, heißt ungerade. Ihr Graph ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.

    4
    Welche der folgenden Funktionen sind gerade, welche ungerade?
    • f(x)=2x3xf(x)=2x^3-x
    • f(x)=x(2x3x)f(x)=x(2x^3-x)
    • f(x)=x64x2+1f(x)=x^6-4x^2+1
    • f(x)=2x3x+4f(x)=2x^3-x+4
    5
    Ordnen Sie die Gleichungen den Graphen zu.
    Bestimmen Sie fehlenden Parameter mithilfe des Graphen.
    • f(x)=2x+2x²+af(x) = -2x⁴ + 2x² + a
    • g(x)=x+xbg(x) = -x⁴ + x - b
    • h(x)=x42x2+cx+dh(x)=x^4-2x^2+cx+d