• Potenzen
  • anonym
  • 27.11.2017
  • Allgemeine Hochschulreife
  • Mathematik
  • 10
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    Definition: Das Potenzieren von Zahlen, beschreibt einen Vorgang bei dem man den Basiswert so oft mit sich selbst multipliziert wie die Hochzahl (der Exponent) es vorgibt.

    Die Umkehroperation des Potenzierens ist das Wurzelziehen.

    Potenzgesetze:

    1. Jede Potenz mit dem Exponent 0 ergibt 1

     

     1^0 = 1, 7^0 = 1, 187^0 = 1

    2. Jede Potenz mit dem Exponent 1 ergibt den Wert der Basis

       

     1^1 = 1, 7^1 = 7, 187^1 = 187

    3.Addition/Subtraktion von Potenzen

     Potenzen können dann addiert oder subtrahiert werden,

     wenn sowohl die Basen als auch die Exponenten übereinstimmen.

     

      x^n + x^n = 2x^n  x^n - x^n = 0

      Beispiel: 5a² + 2b² - (3b + 2a² - b²) = 3a² + 3b² - 3b

    4. Multiplikation von Potenzen

    I. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.

     x^m * x^f = x^m+f

     Beispiel: 3² * 3³ = 3^5

    II. Potenzen mit gleichem Exponent werden multipliziert, indem die Basen multipliziert werden.

     

     x^f * y^f  = (xy)^f

     Beispiel: 3² * 7² = 21²

    5. Dividieren von Potenzen

    I. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem ihre Exponenten subtrahiert werden.

     x^f : x^n = x^f-n

     Beispiel: 3³ / 3² = 3^3-2

    II. Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert,indem man die Basen dividiert und den                       Exponent beibehält.

      x^f : y^f = (x:y)^f

      Beispiel: 2² / 4² = (2:4)²

    6. Potenzieren von Potenzen

    Potenzen werden potenziert, indem alle Exponenten multipliziert werden.

      (x^n)^f = x^n*f

      Beispiel: (3²)³ = 3^2*3

    7. Negative Potenzen

    Potenzen mit negativem Exponent werden ermittelt, indem die Potenz in einen Bruch gesetzt wird.  Dabei kommt die Potenz an die Stelle des Nenners und der Zähler beträgt 1 (Stammbruch).

      x^-f = 1/x^f

      Beispiel: 3^-2 = 1/3² = 1/9

     

     

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    8.Potenzen mit Bruch als Exponent

    Potenzen welche einen Bruch im Exponenten stehen haben werden ermittelt, indem die Basis hoch dem Zähler genommen wird und dann die n-te Wurzel daraus gezogen wird, welche bestimmt wird durch den Nenner des Bruchs.

    x^m/n = n√x^m

    Beispiel: 4^2/3 = 3√4²

    Potenzen mit großen & kleinen Zahlen

    Große und kleine Zahlen werden mithilfe von Zehnerpotenzen dargestellt. Der Gedanke dabei ist, die Zahl durch Verschiebung des Kommas und gleichzeitige Multiplikation einer 10 mit entsprechender Potenz kürzer darzustellen.

    1.Große Zahlen

    Sehr große Zahlen werden potenziert indem das Komma um so viele Stellen nach links verschoben wird, wie der Exponent groß ist.

    198200000 = 1,982 * 10^8

    2. Kleine Zahlen

    Sehr kleine Zahlen werden potenziert indem das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie der Exponent groß ist. Dabei muss der Exponent negativ sein.

    0,00001982 = 1,982 * 10^-5

    Übung

    1
    Berechne!
    • 187^1 =
    • (7²)³ =
    • 12² * 6 =
    • 2^5 =
    • 17^0 =
    2
    Schreibe die richtigen Wörter in die Felder!

    Ist die Basis einer Potenz positiv, dann ist der Potenzwert .
    Ist die Basis einer Potenz negativ und der Exponent eine gerade Zahl, dann ist der Potenzwert .
    Ist die Basis einer Potenz negativ und der Exponent eine ungerade Zahl, dann ist der Potenzwert .

    Hausaufgabe

    1. Drei Seerosen in einem Teich wachsen so, dass sich ihre Menge täglich verdoppelt. Wie viele Seerosen befinden sich nach einer Woche im Teich?

    2. Setze <,> oder = ein!

    a) 2³   3²       b) 3^4   4^3     c) 5^2   2^5

    d) 2^4   4^2    e) 3^0   4^0   f) 5^3   3^5

    3. Trage die richtigen Exponenten ein!  

     a) 729 = 3^      b)0,064 = 0,4^

     

    Quellen:http://www.mathematrix.de/potenz-definition/

    https://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html

    https://www.google.de/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwi73NWAu9rXAhVQJOwKHd5IBJMQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.mathe-online.at%2Flernpfade%2F101206_Lernpfad_Potenzen%2F%3Fkapitel%3D1&psig=AOvVaw3nlBOm85KybloUuJK-OeUE&ust=1511714898147720 https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/potenz/potenz.shtml