• Graphen von Exponentialfunktionen
  • Simon Brückner
  • 21.04.2020
  • Mathematik
  • 11
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
  • Graphen von Exponentialfunktionen

    Waagrechte Asymptoten

    Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x)=2x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2^x. Für einzelne Funktions-werte ergibt sich folgende Tabelle:

    x

    -10

    -5

    -2

    -1

    0

    1

    f(x)

    11024\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{1024}}

    132\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{32}}

    14\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{4}}

    12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{2}}

    1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{1}

    2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{2}

    Wird x um 1 kleiner, so sich der Funktionswert jeweils. Deshalb näher sich der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f für x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow -\infty der Geraden mit Gleichung , berührt sie aber nie. Diese Gerade ist die Asymptote des Graphen.

    Auf welcher Seite wird sich der Asymptote genähert?

    f1(x)=3x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f_1(x)=3^x
    f2(x)=0.5x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f_2(x)=0.5^x
    f3(x)=ex\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f_3(x)=e^x
    f4(x)=ex\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f_4(x)=e^{-x}

    Für Funktionen der Form f(x)=px\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=p^x gilt:
    Ist p>1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} p>1, so nehmen die Funktionswerte für x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow\cloze{\small-\infty} ab. Der Graph nähert sich der Asymptote also auf der Seite. Sonst nehmen die Funktionswerte für x+\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow\cloze{\small+\infty} ab. Der Graph nähert sich der Asymptote also auf der Seite.
    Für Funktionen der Form f(x)=ekx\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=e^{kx} folgt daraus nach den Potenzgesetzen:
    Der Graph nähert sich der Asymptoten für x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow -\infty, wenn k>0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small k>0} ist, und für x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow\infty sonst.

  • Graphen von Funktionen der Form f(x)=ae±x+d\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot e^{\pm x}+d

    Der Graph der Funktion f mit f(x)=aex+d\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot e^ x+d besitzt die Asymptote mit der Gleichung y=d\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=d. Er schneidet die y-Achse im Punkt Y(0a+d)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(0|a+d).
    Er nähert sich seiner Asymptoten für x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow -\infty an.

    Der Graph der Funktion f mit f(x)=aex+d\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot e^ {-x}+d besitzt die Asymptote mit der Gleichung y=d\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=d. Er schneidet die y-Achse im Punkt Y(0a+d)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(0|a+d).
    Er nähert sich seiner Asymptoten für x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\rightarrow \infty an.

    f(x)=2ex+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2e^x+1

    1
    Die abgebildeten Graphen gehören jeweils zu einer Funktion f mit f(x)=ae±x+d\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot e^{\pm x}+d. Geben Sie jeweils den y-Achsenschnittpunkt Y\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y, die Gleichung der Asymptoten und die Funktionsgleichung an.
    • Y(03)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small3}), Asymptote y=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=\cloze{\small2}
      a=32=1;d=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small3-2=1}; d=\cloze{\small2}
      f(x)=1e+x+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small1}e^{\cloze{\small+}x}\cloze{\small+2}
    • Y(03,5)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small3,5}), Asymptote y=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=\cloze{\small2}
      a=3,52=1,5;d=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small3,5-2=1,5}; d=\cloze{\small2}
      f(x)=1,5ex+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small1,5}e^{\cloze{\small-}x}\cloze{\small+2}
    • Y(00,5)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small0,5}), Asymptote y=1,5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=\cloze{\small1,5}
      a=0,51,5=1;d=1,5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small0,5-1,5=-1}; d=\cloze{\small1,5}
      f(x)=e+x+1,5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small-}e^{\cloze{\small+}x}\cloze{\small+1,5}
    • Y(01,5)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small1,5}), Asymptote y=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=\cloze{\small-1}
      a=1,5(1)=2,5;d=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small1,5-(-1)=2,5}; d=\cloze{\small-1} f(x)=2,5ex1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small2,5}e^{\cloze{\small-}x}\cloze{\small-1}
    • Y(00)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small0}), Asymptote y=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} y=\cloze{\small-2}
      a=0(2)=2;d=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small0-(-2)=2}; d=\cloze{\small-2} f(x)=2e+x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small2}e^{\cloze{\small+}x}\cloze{\small-2}
    2
    Abgebildet sind die Graphen der Funktionen f mit f(x)=2ex1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2e^x-1 und g mit g(x)=2ex0,5x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x)=2e^x-0,5x-1.
    Der Graph von g besitzt eine sogenannte schiefe Asymptote. Erklären Sie, wie es dazu kommt.