• Herleitung von Volumenformeln spezieller Rotationskörper
  • jederkannmathe
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  • 08.06.2018
  • Weiterbildung, Allgemeine Hochschulreife
  • Mathematik
  • 11, 13, 12
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    Spezielle Rotationskörper

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    Ergänze bei den Skizzen jeweils die korrekte Bezeichnung und die Formel zur Volumenberechnung.

    Herleitung der Volumenformeln reloaded

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    Die drei oben abgebildeten Körper kann man auch als Rotationskörper auffassen.
    • Skizziere die dafür nötigen Funktionen und gib die jeweiligen Funktionsvorschriften an.
    • Zeige, dass die Berechnung des Rotationsvolumens auf die bekannten Volumenformeln führt.

    Keplers Formel zur Berechnung des Inhalts von Fässern

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    Gegeben seien von einem Fass die Höhe h, der Umfang u der Boden- bzw. Deckelfläche mit Radius r und der Umfang U der Fass-Mitte zum Mittelradius R.
    Zeige, dass für parabelförmige Berandungen die Keplersche Fassregel gilt:

    V=h60π(8U2+4Uu+3u2)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} V=\frac{h}{60 \, \pi} \cdot (8 \, U^2 + 4 \, U u + 3\,u^2)
    • Überprüfe die Formel anhand eines Fasses mit R = 5, r = 4 und h = 12 (Einheit: dm).
    • Für Experten: Beweise die Aussage allgemeingültig.
    parabelförmige Berandung

    Bestimme zunächste die Funktionsvorschrift der Funktion, deren Rotationskörper das Fass ist. Ermittle dazu aus der Skizze die Koordinaten von gegebenen Punkten.

    Quelle: Deutsche Fotothek.
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    Recherchiere den Hintergrund: Wie kam Kepler dazu, eine Formel zur Berechnung des Volumens von Fässern aufzustellen? Welche Folgen hatte seine Entdeckung?