• Intervallhalbierung
  • Simon Brückner
  • 05.09.2019
  • Fachhochschulreife
  • Mathematik
  • 11
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  • Intervallhalbierung:
    Immer näher an die Lösung!

    Einstieg

    Alle drei Bilder zeigen denselben Graphen. Betrachten Sie die drei Bilder der Reihe nach. Wie genau können Sie die Nullstelle der Funktion jeweils bestimmen. Wie würden Sie das nächste Koordinatensystem wählen?

    Erarbeitung

    Schauen Sie das Video zu nebenstehendem Link an und ergänzen Sie den Lückentext sinnvoll.

    Gesucht sei die Nullstelle einer Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f, ihr Graph sei Kf\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_f. Um mit der Intervallhalbierung starten zu können benötigt man zwei Stellen x1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 und x2\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_2 an denen Kf\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} K_f einmal und einmal der x-Achse liegt. Die gesuchte Nullstelle muss dann x1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 und x2\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_2 liegen. Um sie genauer zu bestimmen, wertet man die Funktion an einer Stelle x3\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_3 aus, die . Nun weiß man, ob der Vorzeichenwechsel zwischen und oder zwischen und stattfindet. Dieses Verfahren man, bis man sich in der gewünschten Genauigkeit an die Nullstelle angenähert hat.

  • Übung

    Ergänzen Sie jeweils die Tabelle, um eine Nullstelle der genannten Funktion näherungsweise auf eine Nachkommastelle genau zu bestimmen.
    • f(x)=x32x1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3-2x-1
    • g(x)=2ex+x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x)=2e^x+x
    • f(x)=x32x1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3-2x-1

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x

    f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)

    1

    2

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x

    g(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x)

    -1

    0

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x

    f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)

    -0,8

    0

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\approx




    • Warum ist es nicht möglich in Aufgabenteil c) mit x=1\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x=-1 zu starten?

    • Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe der Erkenntnisse aus a), c) und d).

    • Eine der beiden Nullstellen des nebenstehenden Graphen kann mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens nährungsweise bestimmt werden, die andere nicht. Erklären Sie!

    • Welche weiteren Schwierigkeiten können beim Intervallhalbierungsverfahren auftreten?

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\approx

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{dedede}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\approx