• Die quadratische Funktion
  • KunzJ
  • 28.04.2020
  • Mathematik
  • 9
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  • Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion

    In den letzten Aufgaben haben wir gesehen, dass die Formel zur Berechnung des Anhalteweges neben einem rein-quadratischen Teil ( Bremsweg mit 12aBv2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{1}{2a_B}\cdot\,v^2) auch einen linearen Teil (Reaktionsweg mit tRv\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} t_R\cdot\,v) besaß. Werden diese beiden Teile kombiniert, erhalten wir die allgemeine Form einer quadratischen Funktion:

    Merke: Die quadratische Funktion

    Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c , wobei a0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a\neq 0 und a,b,cR\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a, b, c \in \mathbb{R} ist, wird als quadratische Funktion bezeichnet.

    Beispiel: Basketball-Wurf

    Die folgende quadratische Funktion beschreibt den Wurf eines Basketballs von der Dreier-Linie auf den Korb. Sie ordnet der Weite x in m vom Abwurf die Höhe f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x) des Balls in m zu.

    Funktionsgleichung:
    f(x)=314x2+2314x+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=-\frac{3}{14}\cdot x^2+\frac{23}{14}\cdot x+2

    Funktionsterm:
    314x2+2314x+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} -\frac{3}{14}\cdot x^2+\frac{23}{14}\cdot x+2

    Wertetabelle:

    Funktionsgraph:

    Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x (in m)

    f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x) in m

    0

    2

    1

    3,43

    2

    4,43

    3

    5

    7

    3

  • 1
    Vervollständige die Tabelle, indem du die entsprechenden Werte aus dem Beispiel Basketball-Wurf überträgst.

    allgemein

    Basketball-Wurf:

    rein-quadratischer Teil

    ax2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a\cdot x^2

    linearer Teil

    bx\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} b\cdot x

    konstanter Teil

    c\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} c

    2
    Betrachte die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2).
    • Zeige, dass diese Funktion quadratisch ist, indem du sie in der Form f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c angibst.
    • Welche Werte haben die Parameter a,b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a, b und c\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} c?
    Hinweis: Ausmulitplizieren

    Situation 1: a(b+c)=ab+ac\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c


    Situation 2:(a+b)(cd)=acad+bcbd\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} (a+b)\cdot (c-d) = a\cdot c- a\cdot d+b\cdot c-b\cdot d