• Lineare Gleichungssysteme
  • Simon Brückner
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 11
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Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren ist eine Erweiterung des Additionsverfahrens. Ziel ist es, ein LGS durch Umformungen in Stufenform zu bringen, um es dann lösen zu können. Zulässige Umformungen sind dabei:

A Vertauschen zweier Zeilen

B Multiplikation aller Einträge einer Zeile mit einem Faktor

C Addition einer Zeile zu einer anderen

Beispiel

Das Gauß-Verfahren und dieses Beispiel werden im verlinkten Video erklärt:

https://vimeo.com/358259384


Übung

1
Berechnen Sie!
  • (53221041300210)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} -5 & -3 & 2 & \vdots & 21\\ 0 & -4 & 1 & \vdots &3\\ 0 & 0 & 2 & \vdots &-10\\ \end{array}\right)
  • (344230532200520)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 3 & 4 & -4 & \vdots & -23\\ 0 & -5 & -3 & \vdots &-22\\ 0 & 0 & 5 & \vdots &20\\ \end{array}\right)
  • (3423102380010)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 3 & 4 & 2 & \vdots & -31\\ 0 & -2 & 3 & \vdots &8\\ 0 & 0 & 1 & \vdots &0\\ \end{array}\right)
1a) {-5; -2; -5} b) {-5; 2; 4} c) {-5; -4; 0}
2
Berechnen Sie!
  • (131604310231) \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 1 & 3 & -1 & \vdots & 6\\ 0 & 4 & 3 & \vdots &1\\ 0 & 2 & 3 & \vdots &-1\\ \end{array}\right)\
  • (4235011102313)  \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 4 & -2 & 3 & \vdots & 5\\ 0 & -1 & 1 & \vdots &1\\ 0 & 2 & 3 & \vdots &13\\ \end{array}\right)\ \
  • (101303360231) \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 1 & 0 & -1 & \vdots & -3\\ 0 & 3 & 3 & \vdots &6\\ 0 & 2 & -3 & \vdots &-1\\ \end{array}\right)\
2a) {2; 1; -1} b) {0; 2; 3} c) {-2; 1; 1}
3
Berechnen Sie!
  • (45011321102315)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 4 & -5 & 0 & \vdots & -1\\ 1 & -3 & 2 & \vdots &11\\ 0 & -2 & 3 & \vdots &15\\ \end{array}\right)
    L=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \mathbb{L}=
  • (24012521153434)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} -2 & -4 & 0 & \vdots & -12\\ 5 & 2 & -1 & \vdots &1\\ -5 & 3 & -4 & \vdots &34\\ \end{array}\right)
    L=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \mathbb{L}=
  • (121105421245326)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 1 & 2 & -1 & \vdots & -10\\ 5 & -4 & -2 & \vdots &12\\ 4 & 5 & -3 & \vdots &-26\\ \end{array}\right)
    L=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \mathbb{L}=
  • (251231432115424)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 2 & -5 & 1 & \vdots & 23\\ -1 & -4 & -3 & \vdots &21\\ 1 & -5 & 4 & \vdots &24\\ \end{array}\right)
    L=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \mathbb{L}=
  • (151174512020310)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 1 & 5 & -1 & \vdots & -17\\ -4 & -5 & 1 & \vdots &20\\ -2 & 0 & 3 & \vdots &-10\\ \end{array}\right)
    L=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \mathbb{L}=
  • (2105103344212)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 2 & -1 & 0 & \vdots & 5\\ -1 & 0 & -3 & \vdots &3\\ -4 & -4 & -2 & \vdots &-12\\ \end{array}\right)
    L=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \mathbb{L}=
3a) {-4; -3; 3}
3d) {-1; -5; 0}
3b) {-2; 4; -3}
3e) {-1; -4; -4}
3c) {0; -4; 2}
3f) {3; 1; -2}
4
Welche Schwierigkeit tritt jeweils bei den dargestellten Systemen auf? Finden Sie eine Lösung!
  • (02321110,52011)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 0 & 2 & 3 & \vdots & -2\\ 1 & 1 & 1 & \vdots &0{,}5\\ 2 & 0 & 1 & \vdots &1\\ \end{array}\right)
  • (111002120211)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \left( \begin{array}{rrrcr} 1 & 1 & 1 & \vdots & 0\\ 0 & 2 & 1 & \vdots &2\\ 0 & 2 & 1 & \vdots &-1\\ \end{array}\right)