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Die lokale Linearität

Scanne den untenstehenden QR-Code ein (oder gib den Link im Browser ein). Du siehst dann den Graphen der Funktion

f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - x

in Geogebra. Mithilfe der Lupe kannst du einen kleinen Ausschnitt im Koordinatensystem näher betrachten.

Vergrößere den Ausschnitt der Funktion beim Punkt A über den Schieberegler für h immer weiter. Beschreibe, was du dabei feststellst.
Bestimme die mittleren Anstiege zwischen den Punkten $A_{1}$ und $A_{2}$ verschiedener Ausschnitte und ergänze die untenstehende Tabelle.
Vergleiche die Ergebnisse des Differenzenquotienten aus der Tabelle. Beschreibe deine Beobachtung.
Zeichne die Funktion $f (x) = s in (x) + 2 \cdot s in (3 x - 4)$ in Geogebra. Stelle
Vermutungen an, was passiert, wenn du hier ebenfalls in beliebige Ausschnitte der Funktion hineinzoomst. Notiere deine Vermutung und überprüfe sie danach.

Hinweis

$h$ ist der jeweilige Abstand in $x$ -Richtung der Punkte $A_{1}$ und $A_{2}$ zum festen Punkt A.

$x_{1}$

$x_{2}$

$f (x_{1})$

$f (x_{2})$

$m = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Tangenten und Sekanten

Scanne den untenstehenden QR-Code ein (oder gib den Link im Browser ein). Du siehst dann eine Sekante, die an den Punkt

P (1∣1)

der Funktion

f (x) = 0, 5 x^{2} + 0, 5

angelegt wurde sowie das zugehörige Steigungsdreieck und dessen Anstieg.

Verkleinere das Intervall des Steigungsdreiecks mithilfe des Schieberegler für $∆ x$ immer weiter und beobachte, was mit der Sekante passiert. Beschreibe, was du dabei feststellst, gehe dabei auch auf folgende Fragen ein:
- Was passiert mit der Sekante für $∆ x = 0$ ?
- In wie vielen Punkten berührt die Sekante den Graphen in diesem Fall?
- Was wird aus dem Differenzenquotient?
- Welche geometrische/ inhaltliche Bedeutung hat die Sekante bzw. der Differenzenquotient im Fall $∆ x = 0$ ?
Der Differenzenquotient geht für in den Differentialquotienten
über. Der Differentialquotient entspricht der Ableitung $f^{'} (x_{0})$ der Funktion $f$ im Punkt $x_{0}$ .
Berechne die Differentialquotienten für folgende Stellen $x_{0}$ und stelle Vermutungen an, welche Rückschlüsse sich damit über die Monotonie der Funktion $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$ ziehen lassen:
$x_{0} = 0$
$x_{0} = 0, 5$
$x_{0} = 1$
$x_{0} = 1, 5$

$K = f (A)$ beschreibt die Kosten K in Euro zum Bau eines Hauses mit A $m^{3}$
umbautem Raum. Erkläre die inhaltliche Bedeutung der Ableitung $f^{'} (A)$ .
Die Förderungen von T Tonnen Kupfer verursachen in einer Mine Kosten (in Euro) von $K = f (T)$ . Gib die Bedeutung von $f^{'} (2000) = 100$ an.
$f (x)$ ist die Höhe (ü.N.N.) des Elbufers in $x$ km Entfernung von der Quelle. Gib
begründet die Einheit und das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ an.
*Ein ICE fährt die 360 km ( $= f (t)$ ) von Leipzig nach München in $t = 3 h$ $10 min$ und macht dabei vier Zwischenstopps in Erfurt, Bamberg, Erlangen und Nürnberg. Zeichne einen Graphen für $f (t)$ .
Gib die Bedeutung und eine sinnvolle Einheit von $f^{'} (t = 20 min) = 230$ an.
Erläutere die physikalische Bedeutung von $f^{''} (t)$ .

Zeichne in die Abbildung die Punkte A bis H in den Graphen von

f

ein, die den
folgenden Anforderungen genügen: