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Die Potenzregel

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen

Beschreiben Sie welches Muster erkennbar ist.
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion

f (x) = x^{n}

Hinweis 1:

Die Ableitungen von $g (x) = x^{3}$ und $h (x) = x^{4}$ lauten:

$g^{'} (x) = 3 x^{2}$ und $h^{'} (x) = 4 x^{3}$

Hinweis 2:

$x^{0} = 1$

$x^{1} = x$

Die Summenregel

Sind $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen, dann gilt die Summenregel.

$f (x) = u (x) + v (x) ⟹ f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$

Beweisen Sie die oben stehende Aussage, indem Sie:

Hinweis

$lim_{h \to 0} f (x) + g (x) ⟹ lim_{h \to 0} f (x) + lim_{h \to 0} g (x)$

Die Faktorregel

Ist $u$ eine differenzierbare Funktion, dann gilt die Faktorregel.

$f (x) = c \cdot u (x), c \in R ⟹ f^{'} (x) = c \cdot u^{'} (x)$

Begründen Sie die Gültigkeit der obigen Aussage, indem Sie...

Hinweis

$lim_{h \to 0} [c \cdot f (x)] = c \cdot lim_{h \to 0} f (x)$