In man­chen Fäl­len wer­den die Zin­sen nicht nur wie bis­her be­trach­tet am Jah­res­en­de gut­ge­schrie­ben, son­dern bei­spiels­wei­se bei Ta­ges­geld­kon­ten oft auch schon mehr­fach wäh­rend des Jah­res. Bei­spiels­wei­se könn­ten die Zin­sen jeden Monat oder jedes Quar­tal aus­ge­zahlt wer­den. Da­durch kommt es be­reits in­ner­halb des Jah­res zum Zin­ses­zins­ef­fekt. Daher müs­sen wir in die­sem Fall etwas an­ders rech­nen.

Dafür legen wir zu­nächst ei­ni­ge No­ta­ti­o­nen fest: m be­schreibt die An­zahl der Zeit­pe­ri­oden pro Jahr, wobei die Zeit­pe­ri­oden immer gleich groß sein müs­sen. Im Bei­spiel einer mo­nat­li­chen Zins­ka­pi­ta­li­sie­rung wäre also m=12, weil wir pro Jahr 12 Zins­ka­pi­ta­li­sie­run­gen haben. Wer­den die Zin­sen jedes Quar­tal aus­ge­schüt­tet, würde ent­spre­chend m=4 gel­ten.

Au­ßer­dem gibt es den no­mi­nel­len Jah­res­zins­satz u, der sich vom ef­fek­ti­ven Jah­res­zins­satz r_m un­ter­schei­det, den wir bis­her immer be­trach­tet haben. Wäh­rend wir mit dem ef­fek­ti­ven Jah­res­zins­satz r_m so rech­nen kön­nen wie bis­her auch, ist der no­mi­nel­le Zins­satz u nur ein Re­fe­renz­wert, mit dem wir nie di­rekt die Zin­sen be­rech­nen. Statt­des­sen wird die­ser no­mi­nel­le Jah­res­zins­satz u auf die Zeit­pe­ri­oden auf­ge­teilt, so­dass sich der un­ter­jäh­ri­ge Zins­satz u/m er­gibt. Haben wir also einen no­mi­nel­len Jah­res­zins­satz von u = 4 % und die Zin­sen wer­den quar­tals­wei­se aus­ge­zahlt, er­gibt sich ent­spre­chend ein un­ter­jäh­ri­ger Zins­satz von u/m = 4%/4 = 1 %. Pro Quar­tal wer­den dem­nach Zin­sen in Höhe von 1 % aus­ge­zahlt. Da es nun be­reits in­ner­halb des Jah­res zum Zin­ses­zins­ef­fekt kommt, ist der ef­fek­ti­ve Jah­res­zins höher als die 4 % des no­mi­nel­len Zins­sat­zes. Aus die­sem Grund ist der no­mi­nel­le Jah­res­zins­satz u nicht das glei­che wie der ef­fek­ti­ve Jah­res­zins­satz r_m. Bei un­ter­jäh­ri­ger Ver­zin­sung ist der ef­fek­ti­ve Jah­res­zins­satz r_m auf­grund des Zin­ses­zin­ses stets grö­ßer als der no­mi­nel­le Jah­res­zins­satz u.

Au­ßer­dem be­zeich­nen wir die An­zahl der be­trach­te­ten Tage als x.



Wir wol­len nun be­trach­ten, wie wir das Ka­pi­tal nach einem Jahr bei un­ter­jäh­ri­ger Ver­zin­sung be­rech­nen kön­nen. Dazu rech­nen wir $K1=K0\ast (1+u/m{)}^m$. In un­se­rem Bei­spiel würde sich also er­ge­ben: $K1=K0\ast (1+4\%/4{)}^4=K0\ast 1,01^4$. Pro Pe­ri­ode, in die­sem Fall Quar­tal, wer­den 1 % Zin­sen aus­ge­zahlt. Das ent­spricht der Mul­ti­pli­ka­ti­on mit 1,01. Da wir in­ner­halb des einen Jah­res nun 4 sol­cher Pe­ri­oden haben, müs­sen wir 1,01⁴ rech­nen. Es ist also ge­nau­so wie wenn wir 1 % Zin­sen pro Jahr für 4 Jahre be­kom­men, nur eben in­ner­halb eines Jah­res. Auf diese Weise kön­nen wir auch den ef­fek­ti­ven Jah­res­zins­satz r_m be­rech­nen. Die­ser fin­det sich näm­lich genau in die­ser Mul­ti­pli­ka­ti­on mit 1,01⁴ bzw. all­ge­mein in der Mul­ti­pli­ka­ti­on mit (1 + u/m)^m, denn das ist der Fak­tor mit dem wir pro Jahr mul­ti­pli­zie­ren, also unser q. Da wir nun aber nicht q son­dern r_m be­rech­nen wol­len und q = 1 + r_m gilt, müs­sen wir, um r_m her­aus­zu­fin­den, fol­gen­des rech­nen: r_m = (1 + u/m)^m - 1.

All­ge­mein kön­nen wir das Ka­pi­tal nach t Jah­ren mit fol­gen­der For­mel be­rech­nen:

K_t = K₀ * (1 + r_m)^t = K₀ * (1 + u/m)^m*t

Bei der tag­ge­nau­en Ver­zin­sung ist es wie­der sehr wich­tig, auf die Zins­kon­ven­ti­on zu ach­ten. Wir gehen hier im fol­gen­den von der Kon­ven­ti­on 30/360 aus.

Dabei be­rech­net sich der Ka­pi­tal­wert nach x Tagen durch:

K_x/360 = K₀ * (1 + u/360)^x = K₀ * (1 + r_m)^x/360

Die kon­ti­nu­ier­li­che Ver­zin­sung ent­spricht einer un­ter­jäh­ri­gen Ver­zin­sung mit un­end­lich vie­len und un­end­lich klei­nen Pe­ri­oden m, nach denen je­weils die er­wirt­schaf­te­ten Zin­sen aus­ge­zahlt wer­den. Da je kür­zer die Pe­ri­oden sind und je mehr Pe­ri­oden es gibt, der Zin­ses­zins­ef­fekt immer stär­ker wird und ent­spre­chend das Ka­pi­tal schnel­ler an­wächst, ist die­ser Ef­fekt bei der kon­ti­nu­ier­li­chen Ver­zin­sung am größ­ten.

Bei der kon­ti­nu­ier­li­chen Ver­zin­sung lässt sich der Ka­pi­tal­wert nach t Jah­ren wie folgt be­rech­nen: K_t = K₀ * e^u*t

Der ef­fek­ti­ve Jah­res­zins­satz r_m er­gibt sich durch: r_m = e^u - 1

Ab­sol­vie­re jetzt zum Ab­schluss der heu­ti­gen Ein­heit noch den Test mit dem Titel
Tu­to­ri­um 2.



Viel Spaß! 💕