Til­gungs­rech­nung

Til­gungs­rech­nung be­schreibt, wie ein ge­lie­he­ner Be­trag (z. B. ein Kre­dit) über die Zeit zu­rück­ge­zahlt wird. Dabei zahlt man nicht nur den ge­lie­he­nen Be­trag (die Til­gung), son­dern auch Zin­sen als Ge­bühr für das Aus­lei­hen des Gel­des.



Bei­spiel:

Du nimmst einen Kre­dit über 10.000 € auf (An­fangs­schuld S₀).
Bei 5% Zin­sen pro Jahr zahlst du jähr­lich einen fes­ten Be­trag (An­nu­i­tät A), der sich aus Zins und Til­gung zu­sam­men­setzt.
Mit jedem Jahr sinkt die Rest­schuld, die Zin­sen wer­den we­ni­ger, und die Til­gung steigt – bis die Schuld voll­stän­dig ge­tilgt ist.

1. An­nu­i­tät fest­le­gen:

Jähr­lich wird ein fes­ter Be­trag A ge­zahlt. Die­ser setzt sich zu­sam­men aus:

A = Zin­sen + Til­gung

• Zin­sen: Be­rech­net auf die noch of­fe­ne Schuld (Rest­schuld) des Vor­jah­res.

• Til­gung: Der Teil, der di­rekt die Schuld re­du­ziert.



2. Jähr­li­cher Ab­lauf:

• Jahr 1: Hohe Zin­sen (auf die volle An­fangs­schuld), ge­rin­ge Til­gung.

• Jahr 2: Zin­sen auf die re­du­zier­te Rest­schuld, Til­gung steigt leicht.

• ...

• Letz­tes Jahr: Fast keine Zin­sen mehr, fast die ge­sam­te An­nu­i­tät ist Til­gung.

Warum? Weil die Rest­schuld jedes Jahr sinkt - da­durch wer­den die Zin­sen we­ni­ger, und die Til­gung nimmt au­to­ma­tisch zu (siehe Ta­bel­le unten).

• Til­gung: Rück­zah­lung des ge­lie­he­nen Ka­pi­tals. Schul­den ab­bau­en.

• Zin­sen: Kos­ten für das Aus­lei­hen des Gel­des (be­rech­net als Pro­zent­satz der Rest­schuld). Die Zin­sen sind fair, wenn sie dem Markt­zins ent­spre­chen.

• An­nu­i­tät: Jähr­li­che Ge­samt­zah­lung (Zins + Til­gung). Sie bleibt immer gleich, aber das Ver­hält­nis von Zins zu Til­gung än­dert sich.

• Rest­schuld (RS_t): Der noch of­fe­ne Be­trag nach t Jah­ren.

(Zah­lung am Ende des Jah­res)



1. An­fangs­schuld:

Die An­nu­i­tä­ten­til­gung ist aus Sicht der Bank wie eine Rente, da auch hier jedes Jahr ein glei­cher Be­trag an die Bank be­zahlt wird. Daher kön­nen wir teil­wei­se auch die For­meln der Ren­ten­rech­nung ver­wen­den. Bei Ren­ten be­rech­nen wir den Ren­ten­end­wert, indem wir die re­gel­mä­ßi­ge Zah­lung R mit dem Ren­ten­end­wert (q^T -1)/(q - 1) mul­ti­pli­zie­ren. Um dann den Bar­wert zu er­hal­ten zin­sen wir noch ab, indem wir mit q^-T mul­ti­pli­zie­ren. Glei­cher­ma­ßen ma­chen wir es auch bei der Til­gungs­rech­nung. Um die An­fangs­s­schuld zu be­rech­nen, mul­ti­pli­zie­ren wir die re­gel­mä­ßi­ge Zah­lung A mit dem Ren­ten­end­wert (q^T -1)/(q - 1) und mit q^-T um ab­zu­zin­sen:

S₀ = A * q^-T * (q^T -1)/(q - 1)



2. An­nu­i­tät:

Die An­nu­i­tät kön­nen wir be­rech­nen, indem wir die For­mel für die An­fangs­schuld nach der An­nu­i­tät A um­stel­len. Es er­gibt sich:

A = S₀ * q^T * (q - 1)/(q^T - 1) (mit q = 1 + r)



Bei­spiel:

S₀ = 10.000 €, r = 5 %, T = 5 Jahre -> A = 2.309,75 €



3. Rest­schuld nach t Jah­ren:

RS_t = S₀ * (q^T - q^t)/(q^T - 1)



4. Zins im Jahr t (ab­hän­gig von der Rest­schuld des Vor­jah­res):

Z_t = RS_t-1 * r

Wenn wir die For­mel für die Rest­schuld RS ein­set­zen und r durch q-1 er­set­zen, er­hal­ten wir:

Z_t = S₀ * ((q^T - q^t-1)/(q^T - 1)) * (q - 1)



5. Til­gung im Jahr t (Rest der An­nu­i­tät nach Zins­zah­lung):

T_t = A - Z_t

Set­zen wir die For­meln für An­nu­i­tät A und Zins Z_t ein, er­hal­ten wir:

T_t = S₀ * (q^t-1 * (q - 1)) / (q^T - 1)



6. Lauf­zeit T:

T = (ln(A) - ln(A - S₀ * r)) / ln(q)

1. An­fangs­schuld:

S₀ = A * (q^T - 1)/(q^T-1 * (q-1))



2. An­nu­i­tät:

Um­stel­len der For­mel für die An­fangs­schuld er­gibt:

A = S₀ * q^T-1 * (q - 1)/(q^T - 1)



Hin­weis: Die An­nu­i­tät ist ge­rin­ger als bei nach­schüs­si­ger Zah­lung, da frü­her ge­tilgt wird.



3. Rest­schuld:

RS_t = S₀ * (q^T - q^t+1) / (q^T - 1)



Die Schuld sinkt schnel­ler, weil die erste Til­gung so­fort zu Jah­res­be­ginn er­folgt.



4. Zins:

Z_t = (RS_t-1 - A) * (q - 1)



Auch hier könn­test du wie­der die For­mel für die Rest­schuld ein­set­zen.



5. Til­gung:

T_t = A - Z_t



Setze auch hier ggf. die ent­spre­chen­den For­meln ein.



6. Lauf­zeit:

T = ln( A / ( A - S₀ * (q-1)/q ) ) / ln(q)

S₀ = 10.000 €, r = 5 %, T = 5 Jahre

Wie du siehst, sin­ken von Jahr zu Jahr die Zin­sen und die Til­gung steigt, wäh­rend die An­nu­i­tät gleich bleibt. Bei vor­schüs­si­gen Zah­lun­gen ist die An­nu­i­tät ge­rin­ger, da be­reits frü­her ge­tilgt wird und damit zu­sätz­li­che Zin­sen ver­hin­dert wer­den.

• Frü­he­re Til­gung: Da die Zah­lung zu Jah­res­be­ginn er­folgt, re­du­ziert sich die Rest­schuld so­fort – die Zin­sen im Laufe des Jah­res sind ge­rin­ger.

• Ge­rin­ge­re An­nu­i­tät und schnel­le­re Schul­den­re­duk­ti­on

• An­nu­i­tät bleibt gleich, aber der An­teil von Zins und Til­gung än­dert sich

• Nach­schüs­sig: Zah­lung am Jah­res­en­de → hö­he­re An­nu­i­tät

• Vor­schüs­sig: Zah­lung am Jah­res­an­fang → nied­ri­ge­re An­nu­i­tät



Hin­weis: Bei nicht-​ganzzahliger Lauf­zeit ist eine Son­der­til­gung nötig (meist im letz­ten Jahr).

Deine Auf­ga­be: Ver­su­che selbst einen Til­gungs­plan für einen Kre­dit über 15.000 Euro bei einer Lauf­zeit von 4 Jah­ren und einem Zins­satz von 6 % so­wohl für vor­schüs­si­ge als auch für nach­schüs­si­ge Zah­lun­gen zu er­stel­len. Sende mir beide Til­gungs­plä­ne an­schlie­ßend zu.