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Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Potenzregel der Differentialrechnung

$(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$ $(n \in Z, n \neq = 0)$

Potenzregel der Integralrechnung

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ $(n \in Z, n \neq = - 1)$

Summenregel der Differentialrechnung

Man kann eine Summe gliedweise

differenzieren:

$(f (x) + g (x))^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

Summenregel der Integralrechnung

Man kann eine Summe gliedweise

integrieren:

$\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x = F (x) + G (x)$

Faktorregel der Differentialrechnung

Ein konstanter Faktor bleibt beim

Differenzieren erhalten:

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x)$

Faktorregel der Integralrechnung

Ein konstanter Faktor bleibt beim

Integrieren erhalten:

$\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x = a \cdot F (x)$ $(a \in R)$

Kettenregel der Differentialrechnung

(lineare innere Funktion)

Für $a, b \in R$ gilt:

$(f (a x + b))^{'} = f^{'} (a x + b) \cdot a$

Kettenregel der Integralrechnung

(lineare innere Funktion)

Für $a, b \in R, a \neq = 0$ gilt:

$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} \cdot F (a x + b)$

Übungsaufgaben

Zur Probe einfach wieder ableiten!

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale.

Ordnen Sie jeder Funktion f eine passende Stammfunktion F zu.

Wo steckt der Fehler?
In den folgenden Rechnungen ist jeweils ein Fehler enthalten.
Finden Sie die Fehler und korrigieren Sie sie.

$\int \frac{6}{x ^{2}} d x = \int 6 \cdot x^{- 2} d x = 6 \cdot \int x^{- 2} d x = 6 \cdot \frac{x ^{- 3}}{- 3} + C = \frac{- 2}{x ^{3}} + C$
$\int (2 x + 1)^{2} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{3} + C$
$\int (3 x^{2} + 2 a) d x = x^{3} + 2 a + C$
$\int (3 x^{2} + 2 a) d a = x^{3} + 2 a x + C$